北京林业大学《高等数学B》李扉-5-4.PPTVIP

例 解 注 此反常积分经变量代换化成了定积分. ). 0 ( d 0 2 2 3 - ò a x x a x a 求 t t a x d cos d = 例 下面是 无穷区间上无界函数的 反常积分 发散, 发散. ò ￥ + + 1 2 d 1 x x 发散 发散. ò - + 1 d 1 x x 例 解 试用分段函数表示 ò ￥ - t t f d ) ( 试用分段函数表示 无界函数的反常积分(瑕积分) 无穷限的反常积分 注意 三、小结 1. 不要与常义积分混淆; 2. 不能忽略内部的瑕点. 思考题1(选择题) 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 第四节 反常积分 (广义积分) improper integral 第五章 定积分 常义积分 积分区间有限 被积函数有界 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 反常积分 推广 一、无穷限的反常积分 一个固定的点电荷 + q 产生的电场, (k是常数). 对场内 其它电荷有作用力, 由库伦定律知, 距q为r单位的 正电荷受到的电场力,其方向与径向一致指向外, 大小为 当单位正电荷从r =a 沿径向移到r =b处时, 单位正电荷从r =a移到无穷远时, 电场力所作的功 称为该电场在这两点处的电位差. 电场力所需 作的功 称为该电场在点a处的电位. 例 试求a、b两点的电位差及a点的电位. 解 a、b两点的电位差 令 即得a点处的电位 这里计算了一个 上限无限增大的定积分的极限. 类似的实例还有: 无界域的面积, 问题, 第二宇宙速度 电容器放电问题等等. 定义1 即 当极限存在时, 称反常积分 当极限不存在时, 称反常积分 如果极限 存在, 则称这个极限值 反常积分, (1) 收敛; 发散. 上的 在 为 ) , [ ) ( +￥ a x f 一、无穷限的反常积分 即 当极限存在时, 称反常积分 当极限不存在时, 称反常积分 存在, 如果极限 则称这个极限值 反常积分, (2) 收敛; 发散. 如果反常积分 和 都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数 称反常积分 上的反常积分, 即 收敛; 记作 发散. 否则称反常积分 (3) ) ( x f , d ) ( ò ￥ + ￥ - x x f ò ￥ + ￥ - x x f d ) ( ò ￥ + ￥ - x x f d ) ( 注 为了方便起见, 规定: 对反常积分可用如下的简记法使用N--L公式, 这时反常积分的收敛与发散取决于 和 是否存在. b b x F x x f ￥ - ￥ - ò = ) ( d ) ( 例 计算反常积分 解 反常积分的积分值 的几何意义 例 计算反常积分 解 例 解 考虑 由于被积函数为奇函数, 积分区间又为对称区间, 由定义可知 因而 但是上述两个极限都不存在. 故知 积分收敛. 为对称区间. 其错误的原因在于认定 不成立的. 注 对于反常积分来说, 对称区间上的性质 各不相关. +￥ ? -￥ ? x x , 证 例 证明反常积分 收敛, 发散. 证 因此 收敛, 其值为 发散. 例 证明反常积分 * 并求其值. 令 例 证明 解 1.计算 2002年考研数学(一)填空3分 解 2.位于曲线 下方, x轴上方的 无界图形的面积是 解 2002年考研数学(二)填空3分 定义2 即 则称此极限为 仍然记为 如极限 存在, 函数 二、无界函数的反常积分 (瑕积分) 反常积分, 瑕点 (1) 上的 在 ] , ( ) ( b a x f 当极限不存在时, 称反常积分 也称反常积分 收敛; 发散. 否则, 则定义 如极限 存在, (2) 瑕点, 称反常积分 发散. 的 为 点 ) ( x f b 若等号右边两个反常积分 如果 则定义 否则, 就称反常积分 发散. 都收敛, (3) 瑕点, 反常积分 , ) ( 外连续 除 b c a c x = 的 点为 ) ( x f c - ? c t lim 注 如瑕点在区间内部, 分别讨论各段瑕点积分. 通常用瑕点将区间分开, 例 计算反常积分 解 为瑕点, 这个反常积分值的 直线x = 0与x = a 位于曲线 x 轴之上, 之间的图形面积. 几何意义 之下, 注 为了方便起见, ? 由N—L公式, 则反常积分 规定: ? = ò b a x x f d ) ( ) ( ) ( + - a F b F - = ) ( b F ) ( lim x F a x + ? = ò b a x x f d ) ( ) ( ) ( lim a F x F b x - - ? ), ( ) ( x f x F = ￠ 例