北京林业大学《高等数学B》李扉-7-8.PPTVIP

三、小结 思考题 1990年考研数学一, 5分 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 其中 (0次多项式), (二重) (2) 求非齐次方程的特解 且 所以， 原方程通解为 ◆ 特征根 不是特征根. 代入方程, 得 所以， 原方程通解为 ◆ 特征根 是二重特征根. 代入方程, 得 第八节 常系数非齐次 线性微分方程 非齐次 方程 是对应齐次方程 通解结构 难点 方法 二阶 常系数 非齐次 线性 如何求非齐次方程特解？ 待定系数法. 的通解 设非齐方程特解为 求导代入原方程 综上讨论 不是根 是单根 是重根 注 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数). 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 其中 (2) 求非齐次方程的特解 ? 代入方程, 得 对应齐次方程通解 原方程通解为 解 此题 例 1988年考研数学一, 8分 二阶常系数线性非齐次方程 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 (2) 求非齐次方程的特解 解得 所以 即 特征根 原方程通解为 (3) 求原方程的特解 (求函数y的解析表达式) 且 , 1 2 - = ￠ x y 由题意,得 即 联立 将之代入通解得 所以, 函数y的解析表达式为 1989年考研数学一, 3分 提示 根椐线性微分方程的性质, 可先求方程 和 的特解, 两个解的和就是原方程的特解. 特解. 的一个 是微分方程 1 ) ( + = - ￠ ￠ x e y y 微分方程 的特解 的形式为 x e x y y y 2 3 2 3 - = + ￠ - ￠ ￠ 解 特征方程 特征根 对应的齐次微分方程 0 2 3 = + ￠ - ￠ ￠ y y y x y y y 3 2 3 = + ￠ - ￠ ￠ x e y y y 2 2 3 - = + ￠ - ￠ ￠ 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 其中 1992年考研数学一, 6分 (2) 求非齐次方程的特解 对应齐次方程通解 代入方程, 原方程通解为 得 欧拉公式 欧拉公式 是单根 w l i ± 解 例 (1) 求对应齐次方程 特征根 其通解 这是二阶常系数非齐次线性方程. 且 特征方程 的通解 (2) 求非齐次方程 故设 代入方程,比较系数.得 这里 特征根 非齐次方程特解为 是特征根. 原方程通解为 的特解. 1989年考研数学二, 7分 解 两端再对x求导,得 积分方程 微分方程 积分方程 其中 f 为连续函数,求f (x). 即 即 这是二阶常系数非齐次线性方程. 初始条件 初始条件 得 由 ò - - = x t t f t x x x f 0 , d ) ( ) ( sin ) ( 其通解 (1)对应齐次方程 特征方程 特征根 初始条件 是特征根. (2)设原方程的特解为 解得 则 方程的通解为 由初始条件,得 所以, . cos 2 sin 2 1 ) ( x x x x f y + = = 待定系数法