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第七章 微分方程 习 题 课 教学要求 典型例题 一、教学要求 1. 了解微分方程、解、通解、初始条件和 2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程 3. 会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程. 4. 会用降阶法解下列方程: 特解等概念. 的解法. 5. 理解二阶线性微分方程解的结构. 6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法, 7. 会求自由项形如: 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解. 8. 会用微分方程解一些简单的几何问题. 并了解高阶常系数线性微分方程的解法. 二、典型例题 例 解 原方程可化为 求通解 分离变量 代入原方程得 分离变量 两边积分 所求通解为 例 解 代入方程,得 故方程的通解为 求以 为通解的微分方程. 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 即 因此微分方程为 例 解 且满足方程 求 提示 上式两边对x求导两次: 因此问题化为解下列初值问题 解得 例 二阶可导, 例 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为 求特解 代入原方程比较系数得 = * y ) ( b ax + x e ) ( , ) ( , ￠ ￠ * ￠ * * y y y 将 非齐次方程的一个特解为 原方程的通解为 解得 所以原方程满足初始条件的特解为 例 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解为 设原方程的特解为 = * y + * 1 y . 2 * y = * 1 ) 1 ( y 设 , b ax + 特征根 故原方程的通解为 * *
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