北京林业大学《高等数学B》李扉-8-5.PPTVIP

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 四、小结 思考题1 如何确定平面的法向量? 解答 (1) 如果已知点M0(x0, y0, z0)在平面Π 上的垂足 为M1(x1, y1, z1),则 (2) 如果平面Π 与已知平面 平行,则 (3) 如果平面Π 过三点 A, B, C,则 第五节 平面及其方程 平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角 (plane) 点到平面的距离 第八章 空间解析几何与向量代数 在空间内,确定一个平面的几何条件 是多种多样的. 如: 点法、 相交两直线等. 不共线的三点、 如果一非零向量垂直于 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量. 一块平面可以有许多法向量. 一平面, 这向量就叫做该平面 的 法线向量 (法向量). 已知 设平面上的任一点为 必有 平面的点法式方程 解 取 平面方程为 化简得 例 平面方程. 法一 平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 任意一个形如上式 的x、y、z的三元一次 方程都是平面方程. 平面一般方程的几种特殊情况 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于xOy 坐标面； 类似地可讨论 类似地可讨论 (由柱面可知) 平面的一般方程 设平面为 将三点坐标代入得 解 例 设平面与x, y, z 三轴分别交于 求此平面方程. 平面的截距式方程 今后,由截距式方程作平面的图形特别方便! 当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程. 并作图. 化为截距式方程, 平面的截距式方程 设平面过点 及x轴,求其方程. 用平面的点法式方程. 由点法式方程得平面方程: 法向量 解 法一 即 用待定常数法. 设平面过点 及x轴, 求其方程. 即 法二 设平面方程是 从而平面方程是 即 从而平面方程是 得 点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上, 求平面方程常用两种方法: 利用条件定出其中的待定的常数, 此方法也称待定常数法. 主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量. (1) 用平面的点法式方程. (2) 用平面的一般方程. 定义 （通常取锐角） 两平面法向量的夹角称为 两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 取锐角 两平面位置特征： // 两平面垂直、平行的充要条件 例 研究以下各组里两平面的位置关系: 解 两平面相交, 夹角 两平面平行但不重合. 解 两平面平行 两平面平行 两平面重合 解 例 解 三点的平面方程为 设两平面的交角为 则 设平面为 所求平面方程为 解 例 1996考研数学(一), 3分 与平面 垂直且过原点及点 的平面方程为( ). 与平面 垂直且过原点及点 的平面方程为( ). 解 ∥ 平面的点法式方程 设所求平面为 由所求平面与已知平面平行得 (向量平行的充要条件) 解 例 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 求平行于平面 而与三个坐标面 代入体积式 所求平面方程为 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 求平行于平面 而与三个坐标面 取法向量 化简得 平面方程为 解 ∥ . 例 求过点(1,1,1)且与平面 和平面 都垂直的平面方程. 点到平面的垂直距离 外一点, 四、点到平面的距离 并作向量 即 由于 的距离公式为 填空 解 解 例 求这平面方程. 设所求平面为 在已知平面 上任取一点 或 故所求平面为 或 1 . 两平行平面 与 间距离为( ),其 的方程分别为: (A) 1 (B) (C) 2 (D) 21 A 选择题 提示 ∥ (熟记平面的几种特殊位置 两平面的夹角 点到平面的距离公式 平面的点法式方程 (两平面垂直、平行的充要条件) (关键确定平面的法向量) 平面的一般方程 的方程) 平面的截距式方程 (研究几何图形) * *