北京林业大学《高等数学B》李扉-8-6.PPTVIP

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、小结 平面束的方程 设有两块不平行的平面 其中系数不互相成比例 交成一条直线L 过直线L的所求全体平面 平面束 (3)表示过直线L的平面 解 · 将点 代入(1)中,得 将 代入(1)中,得 例 过已知直线的平面束方程为 上海交大考题(98级) 解 设平面束方程 即 0 ) 2 ( = - + - + + z y x y x l 由 由 思考题1 想一想下述问题能否转化为 用点法式确定平面方程？ (1) 过两条相交直线,确定一平面; (2) 过两条平行直线,确定一平面; (3) 过一直线与该直线外一点,确定一平面; (4) 过一直线垂直于一已知平面,确定一平面. (设此直线不垂直于一已知平面) 如何转化？ 思考题2 想一想下述问题能否转化为 用对称式方程来确定直线方程? (1) 过一点且与一已知平面垂直,确定一直线方程; (2) 过一点且与两条相交直线都垂直的直线方程; (3) 过一点且与一已知平面平行,与一已知直线相 交的直线方程. 如何转化？ 空间直线的一般方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 (两直线垂直、平行的充要条件) (直线与平面垂直、平行的充要条件) 空间直线的参数方程 (关键确定直线的方向向量) 空间直线的对称式方程 各类直线方程的作用及它们之间的互换 第六节 空间直线及其方程 空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程 与参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 第八章 空间解析几何与向量代数 定义 空间直线可看成两平面的交线. 空间直线的一般方程 L 注 (2) 直线L的一般方程形式不是唯一的. 方向向量的定义 如果一非零向量平行于 1.对称式方程 一条直线可以有许多方向向量. 求此直线的方程 一条已知直线, 这个向量称 为这条直线的 方向向量. // 方向数. 直线的对称式方程 因为 // (点向式、标准式） 令 直线的参数方程 故 直线方程的几种形式可以互相转换. 例 解 所求直线方程为 · M1 · M2 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程. 向量 与直线平行 过两点作直线 则直线的一个方向向量为: 于是对称式方程可写成: 一般, 如直线过两点 解 交点为 取 所求直线方程 . A . B 例 可将对称式方程拆为一般方程 如对称式方程为 可写成一般方程 可将直线的对称式方程 又如 注 可写成一般方程 化为一般方程吗 各类直线方程的互换 2. 直线的一般方程化为对称式方程 怎样将直线的一般方程 (1) 用代数的消元法化为比例式; 有两种方法 (2) 在直线上找一定点,再求出方向向量, (重要) 化为对称式方程 即写出对称式方程. 写成比例式, 例 解 法一 (1) (2) 两个方程中, 每一个只有两个变量, 共同的变量 即得对称式方程. 化为对称式方程. 解出 x. 此直线上一定点为 方向向量为 ), 3 , 1 , 0 ( - - ) 7 , 5 , 1 ( = s r 先求直线上一定点: 于是得直线上的一定点 将 化为对称式方程. 因所求直线与两平面的法向量都垂直. 法二 取 取 对称式方程 将 化为对称式方程. 两个对称式方程 实际上直线的对称式方程不唯一. 注意 怎么不一样 答: 3. 直线的参数方程 上式何时有用 如求 直线的参数方程 故 答: 直线与平面的交点. 得 解 再代入 代入平面方程, 求直线 例 与平面 的交点. 得 解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N, 令 . M 垂直相交的直线方程. 例 交点 取所求直线的方向向量为 直线方程为 代入 得 将 . M 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫两直线的夹角. ^ 两直线的夹角公式 两直线的位置关系: // 直线 直线 例 (两直线垂直、平行的条件) 与直线 及 都平行且过原点的平面方程为( ). 1987,数学一考研填空,(3分) 提示 平面过原点 由点法式方程即可得. 法向量 1. 2. 1990,数学一考研填空,(3分) 1991,数学一考研填空,(3分) 提示 3. 提示 1993,数学一考研 选择,(3分) C 提示 4. 解 设所求直线的方向向量为 取 所求直线的方程 例 的交线平行的直线方