北京林业大学《高等数学B》李扉-9-2.PPTVIP

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第二节 偏 导 数 例 验证函数 满足波动方程: 证 因 故有 例 验证函数 满足拉普拉斯方程: 证 因 由x, y在函数表达式中的对称性, 立即可写出 即证. 1988年研究生考题, 计算,6分 答案: 0 解 = ? ? 2 2 x u ÷ ? ? ? è ? ¢ ¢ - ÷ ? ? ? è ? ¢ ¢ - x y g x y y x f y x 2 2 1994年研究生考题, 填空,3分 1998年研究生考题, 填空,3分 偏导数的定义 偏导数的计算 高阶偏导数 (偏增量比的极限) 纯偏导 混合偏导 (相等的条件) 四、小结 偏导数的几何意义 偏导数存在与连续、极限的关系 偏导数的定义及其计算法 偏导数的几何意义 高阶偏导数 partial derivative higher-order partial derivative 第九章 多元函数微分法及其应用 一、偏导数的定义及其计算法 定义 内有定义, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量). 存在, 则称此极限为函数 记为 对x的偏导数, 或 如果极限 同理, 可定义函数 为 记为 或 对y的偏导数, 那么这个偏导数 仍是 的二元函数, 它就称为函数 如果函数 对自变量x的偏导函数 (简称偏导数), 记作 或 同理, 可定义函数 对自变量y的 偏导函数 记作 或 在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在, ) , ( y x f z = ) , ( y x f z = 偏导数的概念可以 推广到二元以上函数 如, 求多元函数的偏导数 利用一元函数 只需将y 的求导法对x求导即可. 看作常量, 并不需要新的方法, 例 求 在点(1,0)处的两个偏导数. 解 例 求 的偏导数. 解 三个偏导数. 解 例 在点(1,0,2)处的 求某一点的偏导数时, 变为一元函数, 代入, 可将其它变量的值 再求导, 常常较简单. 证 例 其中 程 已知理想气体的状态方 , RT pV = 偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商. 二、偏导数的几何意义 设二元函数 在点 有 如图, 为曲面 偏导数. 上的一点, 过点 作平面 此平面 与曲面相交得一曲线, 曲线的 方程为 由于偏导数 等于一元函数 的 导数 故由一元函数导数的几何意义 可知: 偏导数 在几何上表示 曲线 在点 处的切线对 x轴的斜率; 偏导数 在几何上表示 曲线 在点 处的切线对y轴的斜率. 曲线 在点(2,4,5)处的切线 与x轴正向所成的倾角是多少? 解 , 4 4 2 2 ? ? ? í ì = + = y y x z 在点(2,4,5)处的切线 与y轴正向所成的倾角是多少? 曲线 解 例 按定义得 注 但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的. 由以上计算可知, 在点 处可偏导, 偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续 多元函数中在某点偏导数存在 连续 不了连续性. 偏导数都存在, 函数未必有极限, 更保证 x = x0上的值有关 , 而与(x0, y0)邻域内其他点上 所以偏导数存在不能保证函数 说明 因偏导数fx (x0, y0)仅与 函数 f (x, y)在y = y0 上的值有关, 偏导数 f y(x0, y0)仅与 函数 f (x, y)在 的函数值无关, 有极限. 二元函数f(x, y)在点 (x0, y0)处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在该点连续的 ( ). A. 充分条件而非必要条件 B. 必要条件而非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分条件又非必要条件 D 1994年研究生考题,选择,3分 纯偏导 混合偏导 定义 三、高阶偏导数 高阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为 例 的四个二阶偏导数. 解 例 解 有 ). 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( yx xy f f 和 求 按定义得 y x 如果函数 的两个二阶混合偏 在区域D内 定理 连续, 那么在 导数 该区域内 但就通常所遇到的函数, 在前一题中两个混合二阶偏导数相等, 此种情 后一题中两者不相等, 这说明混合偏导数与求偏 导数的次序有关. 但在 况不会发生, 这是因为有下述的定理: ) , ( y x f z = 后一题中 这只能说明 都不连续. 注 多元函数的高阶混合偏导数如果连 一般地, 续就与求导次序无关. 如 多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微 分方程. 偏微分方程是描述

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