北京林业大学《高等数学B》李扉-9-4.PPTVIP

二、全微分形式不变性 复合函数的求导法则 全微分形式不变性 第四节 多元复合函数的  求导法则 第九章 多元函数微分法及其应用 怎样求函数 的偏导数? 一、复合函数的求导法则(链导法则) 1. 的情形. 定理 且 其导数可用下列公式计算: 具有连续偏导数, 复合函数的中间变量多于两个的情况. 定理推广 导数 变量树图 称为 全导数 (又称链导公式). 例 设 求 但用全导数公式较简便. 法二 y u v x 解 法一 用取对数求导法计算. 复合函数为 则复合函数 偏导数存在, 且可用下列公式计算 具有连续偏导数, 2. 的情形. . y v v z y u u z y z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? 变量树图 u v )] , ( ), , ( [ y x y x f z y j = 解 例 中间变量多于两个的情形 类似地再推广, 复合函数 在对应点 的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算: 例 设 解 自己画变量树 求 只有一个中间变量 即 两者的区别 3. 的情形. 把复合函数 中的y 看作不变而对x的偏导数 把 中的u及y 看作不变 而对x的偏导数 区别类似 解 z u x y x y 变量树图 例 求 而 , ), sin( xy u y x e z u = + = ) cos( y x e u + + 例 设 f具有二阶连续偏导数, 变量树图 u r s x t 或记 解 对抽象函数在求偏导数时, 一定要设中间变量. , 1 f r f ￠ = ? ? 2 f s f ￠ = ? ? u r s x t 变量树图 设 f具有二阶连续偏导数, u对中间变量 r,s 的偏导数 注 从而也是自变量x, t 的复合函数. 都是x, t 的函数, , r f ? ? s f ? ? u r s x t 变量树图 设 f具有二阶连续偏导数, s r f ? ? ? 2 解 具有二阶连续偏导数, 且满足 2003年考研数学三, 8分 ) , ( v u f 故 已知f(t)可微,证明 满足方程 提示 t, y 为中间变量, x, y 为自变量. 引入中间变量, 则 具有连续偏导数, 则有 全微分 则有全微分 全微分形式不变性的实质 解 例 通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便. 答案： 解 设 有连续的二阶导数, ) , ( ), sin , 2 ( v u f x y y x f z 其中 设 - = 解 设 连续的二阶导数, 有 其中 设 ) , ( ), , sin ( 2 2 v u f y x y e f z x + = y e f x vu cos ( ￠ ￠ 求 在点(1,1)处可微,且 设函数 解 由题设 多元复合函数求导法则 (链导法则) 全微分形式不变性 (理解其实质) 三、小结 (大体分三种情况) 求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导 作业 习题9-4 (82页) 11. 12.(4) 13. * *