北京林业大学《高等数学B》李扉-9-6.PPTVIP

空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 三、小结 (空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的求法. 当空间曲线方程为一般式时,求切向量可采用公式法、推导法) (注意:空间曲面两种不同形式方程以及求法向量的方向余弦时的符号) 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 第六节 微分法在几何上的应用 第九章 多元函数微分法及其应用 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 1. 空间曲线的方程为参数方程 一、空间曲线的切线与法平面 考察割线趋近于极限位置—— 上式分母同除以 割线 的方程为 切线的过程 曲线在M处的切线方程 切向量 法平面 切线的方向向量称为曲线的切向量. 过M点且与切线垂直的平面. )) ( ), ( ), ( ( 0 0 0 t z t y t x T ￠ ￠ ￠ = r 设曲线直角坐标方程为 2. 空间曲线的方程为 曲线的参数方程是 由前面得到的结果, 在M(x0, y0, z0)处, 令 x为参数, 两个柱面 的交线 法平面方程为 切线方程为 解 例 切线方程 法平面方程 即 例 在抛物柱面 与 的交线上, 求对应 的点处的切向量. x为参数, 于是 解 所以交线上与 对应点的切向量为: 交线的参数方程为 取 设空间曲线方程为 3.空间曲线的方程为 确定了隐函数 (此曲线方程仍可用方程组 两边分别对 表示.) x求全导数: 两个曲面 的交线 利用2.结果, 两边分别对 x求全导数 例 切线方程和法平面方程. 将所给方程的两边对x求导 解: 切线方程和法平面方程. 法平面方程 切线方程 设曲线 证 因原点 即 于是 证明此曲线必在以原点为 的法平面都过原点, 在任一点 中心的某球面上. 曲线过该点的法平面方程为 故有 在法平面上, 任取曲线上一点 今在曲面Σ上任取一条 1. 设曲面Σ的方程为 的情形 隐式方程 二、曲面的切平面与法线 函数 的偏导数在该点连续且不同时为零. 点M 对应于参数 不全为零. 过点M 的曲线Γ, 设其参数 方程为 由于曲线Γ在曲面Σ上, 所以 在恒等式两端对t 求全导数, 并令 则得 若记向量 曲线Γ在点M处切线的方向向量为 则※式可改写成 即向量 垂直. ※ 因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线, 所有这些曲线在点M的切线都与同一向量 垂直, 因此这些切线必共面, 称为曲面Σ在点M的 过点M且垂直于切 法线, 又是法线的方向向量. 向量 称为曲 法向量. 切平面, 由切线形成的这一 平面, 平面的直线称为曲面Σ在 点M的 面Σ在点M的 曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量: 切平面方程为 法线方程为 所以曲面Σ上在点M的 解 令 切平面方程 法线方程 例 ∥ 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量: 上求一点的坐标, 使此点处的切平面平行于 yOz平面. 解 设所求点为 则切平面的法向量为 ∥ 由题意, ∥ 由此得 所求之点: 2. 曲面方程形为 的情形 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 或 显式方程 例 证 则法向量为 切平面方程为 所以这些平面都过 原点. 2003年考研数学(一), 3分 平行的切平面的方程是( ). 例 证 的所有切平面都与一常向量 平行. 则曲面在任一点处的法向量: 则 即 所以,所有的切平面均与 平行. 曲面在M处的法向量: 取 例 证 过直线L的平面束方程为 即 其法向量为 求过直线L 且与曲面 相切之切平面方程. 设曲面与切平面的切点为 则 因而 过直线L的平面束方程为 故 所求切平面方程为 或 即 或 因为曲面在M处的切平面方程: 全微分的几何意义 表示 切平面上的点的竖坐标的增量. 切平面上点的竖坐标的增量 其中 法向量 表示曲面的法向量的方向角, 并假定法向量的方向是向上的, 即使得它与 z 轴的正向所成的角 是锐角, 则法向量的 方向余弦为 因为 (第三个分量为负), 求旋转抛物面 在任意点P(x, y, z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量). 解 而 为向下的法向量 故向上的法向量应为: * *