北京林业大学《高等数学B》李扉-9-7.PPTVIP

方向导数概念与计算公式 梯度概念与计算 directional derivative and gradient 第七节 方向导数与梯度 第九章 多元函数微分法及其应用 1. 方向导数的定义 设有二元函数 沿任何方向的变化率． 考虑函数在某点 即 一、方向导数概念与计算公式 P 定义 如果极限 存在, 则将这个极限值称为函数 在点 记为 即 注 方向导数是函数沿半直线方向的变化率. P ρ一定为正! 是函数在某点沿一给定方向的变化率. 方向导数 偏导数 分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线 Δx、Δy可正可负！ 的变化率. 注 事实上, 的方向导数存在, 事实上, 同理, 的方向导数存在, 存在时, 3. 关于方向导数的存在及计算公式 充分条件 定理 可微, 则函数 且 注 即为 (1) (2) 计算方向导数只需知道l 的方向及函数的 偏导数. . ] 0 [ 的方向角 是 ， 、 l p b a ? 在定点 的方向导数为 (3) (4) 关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 例 考虑函数 定点P0(3,1), P1(2,3).求 函数在 P0沿 方向的方向导数. 解 推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数 它在空间一点 的方向导数, 可定义为 同理, 当函数在此点可微时, 那末函数在该点 沿任意方向l的方向导数都存在, 且有 是l的方向向量. 练习 求函数 在点 处沿 解 切线方向的方向向量 在此点的切线正方向上 曲线 (对应于t 增大方向)的方向导数. 问题 二、梯度概念与计算 已知方向导数公式 方向一致时, 方向导数取最大值 函数 沿什么方向的方向导数为最大 (gradient) 一个二元函数在给定的点处沿不同方向 的方向导数是不一样的. ) cos , (cos 0 b a = l r 方向： 模： f 变化率最大的方向 f的最大变化率之值 定义 记作 即 为函数 称向量 梯度(gradient), 设函数 可偏导, 利用梯度的概念, 可将方向导数计算公式写成 结论 x轴到梯度的转角的正切为 函数在某点的梯度是这样一个向量, 方向与取得最大方向导数的方向一致, 它的 而它的模 为方向导数的最大值. 梯度的模为 类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 在空间区域G内 则对于每一点 都可定义一个向量(梯度) 具有一阶连续偏导数, 解 故 例 并问在哪些点处梯度为零? =0 =0 =0 处的梯度, 例 设函数 (1) 求出 沿什么方向具有最大的增长率, 方向的变化率. (2) 最大增长率为多少? 解 (1) PQ方向的方向向量为 沿什么方向具有最大的增长率, (2) 最大增长率为多少? 解 方向具有最大的增长率, 最大的增长率为: 即为梯度方向. 方向导数的概念 梯度的概念 方向导数与梯度的关系 (注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的区别) (注意梯度是一个向量) 梯度的方向就是函数 在这点增长 最快的方向. 四、小结 作业 习题9-7 (108页) 2. 4. 5. 10. 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 * *