北京林业大学《高等数学B》李扉-10-3.PPTVIP

柱面坐标系中的体积元素为 在柱面坐标系中, 如图, 得小柱体 即 直角坐标系下三重积分与 (红色部分). 若以三坐标面分割空间区域 柱(面)坐标系下三重 积分的关系是 如何计算柱坐标系下三重积分 回想 直角坐标系下计算三重积分方法. 将三重积分化为 三次积分(累次积分) 柱坐标系下三重积分的计算, 可得柱坐标系下三重积分化为三次积分 与x, y, z等同的看为三个变量. 如, 极坐标不等式表示 只要把被积 函数中的 的计算公式. 类比公式 先将Ω在xOy面上的投影域用 从而 故 再确定Ω的下, 上边界面 注 通常是先积 再积 后积 ) , ( ) , ( 2 1 q r q r z z z ￡ ￡ 如积分域Ω为圆柱域(如图). 则 解 例 所围成. 积分域用柱坐标表示为 原式 其中Ω由半圆柱面 例 已知立体内任一点的质量的体密度 解 因为 平面 柱面坐标 求曲面 所围立体的质量M, 与该点 到z轴的距离的平方成正比. 的交线是 上的圆 体密度函数为 ) ( 2 2 y x k + = m Ω的下边界面是 上边界面是 故 所以Ω在xOy面上的投影域 即 是半径为2的圆域 2 0 , 2 0 ￡ ￡ ￡ ￡ r p q ; 2 1 2 r = z 解 如先对z积分 其中Ω是由锥面 例 与平面 所围成的锥台体. 柱面坐标 可看出如先对z积分, (积不出来). 将遇到积分 最后对z积分. 这里应先对 积分, 解 对称性质 例 所围成的空间闭区域. 同理 计算 柱坐标 所以 对称性质 计算 关于两个坐标面 当被积函数是 积分域Ω由圆柱面 (或一部分)、锥面、抛物面 用 所围成的. 柱面坐标 计算三重积分较方便. 选择题 曲面 之内及曲面 之外所围成的立体的体积 D 锥面 被圆柱面 所截,求锥面下方、 xOy面上方、圆柱内的区域V 的体积. 解 V=2V1, 提示 V1为第一卦限部分的体积. 柱坐标 z d d d q r r 为从正z轴来看自x轴按逆时钟 规定 正方向间的夹角为 球面坐标. 称 为点M的 3.利用球面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点, 向xOy平面投影, q 方向转到投影向量的角. 球面坐标系中的三坐标面分别为 原点为心的球面； 过z轴的半平面． 球面坐标与直角坐标的关系为 原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； 球面坐标系中的体积元素为 若以三坐标面分割空 得小六面体 (红色部分). 于是, 在球面坐标系中， 间区域 通常是 注 q j j d d d sin 2 r r 如积分域Ω为球域(如图). 则 ) 例 求半径为a 的球面与半顶角为? 的内接锥面 所围成的立体的体积． 解： 在球坐标系下空间立体所占区域为 于是立体的体积为 解 法一 采用 例 所围的立体. 球面坐标 q j j d d d sin d 2 r r v = 法二 采用 柱面坐标 解 采用 例 由锥面和球面围成, 所围成的立体体积. 球面坐标 a r 2 = p q 2 0 ￡ ￡ 解 积分域关于xOy坐标面对称， 被积函数是z的奇函数. 例 利用对称性简化计算 其中积分区域 球 或 积分区域 ) 0 d cos sin ( 0 = ò p j j j Q 当积分区域是球形域 或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面, 被积函数具有 的形式时, 用 球面坐标 计算三重积分较简便. 或是球的一部分; ) ( 2 2 2 z y x f + + 1989年研究生考题(数学一)计算, 5分 解 被积函数是 围成的空间区域, x的奇函数. 球 2 2 2 2 1 y x z y x z - - = + = 与 是曲面 设 W 三重积分的概念 三重积分的计算 (triple integral) 第三节　三重积分 第十章 重积分 是空间有界闭区域Ω上的 在每个 1. 三重积分的定义 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域 其中 并作和 作乘积 ① ② ③ 有界函数. 也表示它的体积. 表示第i个小闭区域, 上任取一点 一、三重积分的概念 记为 函数 趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为 在闭区域Ω上的三重积分. 　 即 体积元素 如当各小闭区域直径中的最大值 ④ 3. 三重积分的几何意义 设被积函数 连续函数一定可积 2. 三重积分存在性 则区域V 的体积为 在Ω上是可积的. 的三重积分存在性时, (existence) 4. 三重积分的性质 与二重积分的性质类似. 补充三重积分 对称性质 则称f关于变量z的奇 函数. (1) 关于 坐标面的上半部区域. (偶) (2)