北京林业大学《高等数学B》李扉-12-2.PPTVIP

例 讨论级数 的敛散性. 解 因为 所以, 当a0时, 级数收敛; 当a0时, 级数发散; 当a=0时, 根值法失效, 但此时级数为 是发散的. 判定 的敛散性. 解 根值审敛法 其中 ∴级数发散. 注 将正项级数与P级数作比较得： 定理6（极限审敛法） 设 为正项级数， （1）如果 （2）如果 例 判定级数 的敛散性. 解 根据极限审敛法，原级数收敛 例 判定级数 的敛散性. 解 因为 根据极限审敛法，原级数收敛 正、负项相间的级数称为 定义 交错级数. 定理6 (莱布尼茨定理) 二、交错级数及其审敛法 如果交错级数 满足 证 由条件(1): 分析 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 也是一个交错级数. 由条件(2): 注 un与un+1大小的方法有三种: (1)比值法, ? ? (3) 由un找出一个连续可导函数 考察 ? (2)差值法, 用莱布尼茨定理判别交错级数 是否收敛时, 要考察un与un+1大小, 比较 解 原级数收敛. 此级数为 例 判别级数 的收敛性. 交错级数. 注 不满足也 条件(2) 条件(1) 莱布尼茨定理条件中 就是说, 某些交错级数即使条件(1)( ) 只是充分条件. 是收敛的必要条件. 不是必要条件. 仍有可能是收敛的. 例 但条件(1) 故 级数 判别级数 的敛散性. 解 交错级数 可知莱布尼茨定理的条件(2)满足, 不满足, 故用莱氏定理是无法判别的, 但是因为 发散. 收敛, 发散 任意项级数 任意项级数 正项级数 思想是: 定义1 可正, 可负, 可0. 三、绝对收敛与条件收敛 定义2 绝对收敛. 条件收敛. 绝对收敛与收敛 定理7 有以下重要关系 证 设级数 收敛. 显然, 解 故原级数 例 判别级数 的敛散性. 任意项级数 收敛 绝对收敛. 例 解 (1) 所以原级数 收敛. 绝对收敛. 是条件收敛还是绝对收敛. 是等比级数, 判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明 解 因为 又 (2) 由正项级数的比值判别法知, 从而级数(2) 由于使用的是比值判别法而判定的级数(2) 因此 级数 发散, 不绝对收敛. 不绝对收敛, 发散. 级数(2)是 断定 *几何级数是收敛级数中最著名的一个级数．阿贝尔曾经指出“除了几 何级数之外，数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数”． 几何级数在判断无穷级数的收敛性、求无穷级数的求和以及将一个函 数展开为无穷级数等方面都有广泛而重要的应用.几何级数的增长速度 令人震惊. 有一个关于古波斯国王的传说，他对一种新近发明的象棋游 戏留下深刻印象，以至于他要召见那个发明人而且以皇宫的财富相赠. 当这个发明人——一个贫困但却十分精通数学的农民——被国王召见 时，他只要求在棋盘的第一个方格里放一粒麦粒，第二个方格里放两 粒麦粒，第三个方格里放四里麦粒，如此继续下去，直到整个棋盘都 被覆盖上为止. 国王被这种朴素的要求所震惊，他立即命令拿来一袋小 麦，他的仆人们开始耐心地在棋盘上放置麦粒，令他们十分吃惊的是， 他们很快就发现袋子里的麦粒甚至整个王国的麦粒也不足以完成这项 任务，因为级数的第64项是一个十分大的一个数：9223372036854775808. 如果我们设法把如此多的麦粒——假设每个麦粒直径仅一毫米——放在一 条在直线上，这条线将长约两光年. *当n越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而,慢慢地——非常 漫漫地——它的和将增大并超过任何有限值.调和级数的这种特性使一 代又一代的数学家困惑并为之着迷. 它的发散性是由法国学者尼古拉. 奥雷姆（1323-1382）在极限概念被完全理解之前约400年首次证明的. 下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数. 这个级数的前一千项相 加约为 7.485 ；前一百万项相加约为14.357 ；前十亿项相加约为21；前 一万亿项相加约为28等等. 更有学者估计过，为了使调和级数的和等于100， 必须把1043项加起来，如果我们试图在一个很长的纸带上写下这个级数， 直到它的和超过100，即使每个项只占1毫米长的纸带，也必须使用1043毫 米长的纸带，这大约为1025光年. 但是宇宙的已知尺寸估计只有1012光年. 调 和级数的某些特性至今仍未得到解决. 无穷级数 正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 constant term infinite series 第二节 常数项级数的审敛法 第十二章