北京林业大学《高等数学B》李扉-12-3.PPTVIP

解 (1)求收敛区间 发散 收敛 故级数的求收敛域为 例 由牛–莱公式得 (2)求和函数s(x) 解 收敛区间为 (1)求收敛区间 (2)求和函数s(x) 利用性质2,逐项积分 设和函数 例 数项级数间接求和法 即 又设 则 (3)求函数s(x)在 的值 常用已知和函数的幂级数 幂级数及其收敛性 收敛半径R 幂级数的运算 代数、分析运算性质 函数项级数的概念 四、小结 收敛点、收敛域、和函数 一般求三种类型幂级数的收敛半径,注意它们求法 掌握幂级数的和函数的规律 无穷级数 无穷级数 幂级数的运算 power series 第三节 幂 级 数 幂级数及其收敛性 函数项级数的概念 第十二章 无穷级数 1.定义 如 则 函数项级数. 定义1 一、函数项级数的概念 为定义在(a, b)内 的函数序列, 称为定义在(a, b)内的 2.收敛点与收敛域 若数项级数 收敛 (或发散) 则称x0为函数项级数 的收敛点 (或发散点). 函数项级数 所有收敛点 (或发散点) 称为其收敛域 (或发 定义2 散域). 3.和函数 定义3 为函数项级数 则s(x)称为函数项级数 和函数. 的前n项和序列, 若极限 存在, 如, 它的收敛域为 发散域为 等比级数 在收敛域内和函数是 即有 例 解 由比值(达朗贝尔)判别法 (1) 当 时, 原级数 (2) 当 时, 原级数 绝对收敛; 发散. 求函数项级数 的收敛域. 级数为 条件收敛 级数为 发散 总之,所讨论的级数的收敛域为区间 (3) 把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数 项级数的敛散性判别法, 哪些 x 值发散, 些 x 值收敛, 来判定函数项级数对哪 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法. 1.定义 如下形式的函数项级数 称为 的幂级数. 的幂级数. 定义 称为 二、幂级数及其收敛性 2.收敛半径和收敛域 级数 收敛; 发散; 收敛域 发散域 定理1 (阿贝尔(Abel)定理) 则它在满足 不等式 绝对收敛; 发散. 收敛, 发散, 如果级数 则它在满足不等式 的一切x处 如果级数 的一切x处 证 从而数列 有界, 即有常数 M 0, 使得 ) , 2 , 1 , 0 ( | | 0 L = ￡ n M x a n n 由(1)结论, 这与所设矛盾. 使级数收敛, 则级数 时应收敛, 而有一点x1适合 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 推论 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确 幂级数 绝对收敛; 幂级数 发散. 幂级数 可能收敛也可能发散. 如果幂级数 不是仅在x = 0一点收敛, 定的正数R存在,它具有下列性质: 正数R称为幂级数的 幂级数的收敛区间,由幂级数在 规定 问: 如何求幂级数的收敛半径? 定义 收敛半径. (1)幂级数只在x = 0处收敛, 收敛区间 (2)幂级数对一切 x 都收敛, 收敛区间 的收敛性 得其收敛域 设 定理2 如果幂级数 的所有系数 收敛半径 收敛, 从而级数 绝对收敛. 发散, 从而级数 发散. 比值审敛法 证 由比值审敛法, 定理证毕. 收敛, 从而级数 绝对收敛. 收敛半径 必发散. (否则由定理1知将有点 收敛半径 例 求下列幂级数的收敛半径与收敛域: 解 是收敛的交错级数. 是调和级数,发散. 故收敛域为 解 解 级数为正项级数 因为 所以, 故级数 发散. 对应的常数项级数也发散. 当 x = 4 时, 故收敛区间为 发散 收敛. 故收敛区间为 解 (0,1]. 即 即 收敛 解 是缺偶次幂的幂级数. 例 求函数项级数 的收敛域. 所以, 级数处处收敛. 所以,原级数的收敛域是 比值审敛法 讨论幂级数 的收敛域. 解 此级数是缺项的幂级数, 作变换, 令 级数变为 因为 当 y = 3时, 级数为 由于 所以此级数发散. 不满足定理2的条件. 故 y(≥0)的幂级数收敛区间是 因此,原幂级数收敛区间是 收敛半径 即为: 1988年研究生考题,计算,5分 解 处处收敛. 收敛 发散 1. 代数运算性质 (1) 加减法 三、幂级数的性质 的收敛半径各为R1和R2 , 2.和函数的分析运算性质 则 和函数 在收敛域 上连续 则其 和函数 在收敛域 上可积 (收敛半径不变) (收敛半径不变) 逐项求导任意次. 并可 则其 (3) 幂级数 的收敛半径为R (R 0), * *