北京林业大学《高等数学B》李扉-高等数学A第一、二、三章自测题答案-A4.docVIP

高等数学A 第一、二、三章 测试题答案 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题（每题3分，共30分） 1．设周期函数可导，且周期为，，则, 曲线在点处的切线斜率是. 2．在可导是在可微的 充分必要 条件. 3．若为可导的奇函数且，则. 4．. 5. . 6. 的间断点是，其中可去间断点是。 7． . 8．若，则,. 9.若函数 在处连续，则. 10．设，则 . 二、计算下列各题（每题5分，共35分） 1．，求. 解：令 则 2．，求. 解：， 3. 求极限 . 解： 4．求极限. 解：=. 5． 求 . 解： 因为 所以. 6. 求. 解： 7. 求. 解：因为 ， 而 ，， 故 . 三、（7分） 设 确定. （1）求该曲线在时的切线方程； （2）求. 解：（1），， 切线方程为. （2）. 四．（7分）证明函数至多只有三个零点. 解：反证法. 设若函数有四个零点，并且，则根据罗尔定理即知： 有三个零点：（即）且有. 同理，有两个零点（即）且有； 有一个零点（即）且有. 但是，因此不可能有零点，这与上面的结论矛盾，说明函数至多只有三个零点. 五、（7分）若函数在内连续，在可导，且证明：使. 证明：令，显然在内连续，在可导，且由零点定理知使得，又因为，因此，由罗尔定理可知，使 六、（7分）设函数由方程确定，求和． 解：对方程两边求导可得， 整理得 . 当时，有，可知. 于是 . 七、（7分）若函数在内二阶可导，且. 试证明：对且，使满足：（介于与之间）的是唯一的. 证明：因为由已知可知当时，不变号.这是因为若变号，说明必出现拐点，又因为在内二阶可导，所以必有（矛盾）.因此不妨设当时，在是单调递增的.另一方面，对，且，在或上满足拉格朗日中值定理的条件，故有（介于与之间）. 下证唯一性.若（不妨设）使成立（介于与之间），这与是上单调递增的函数矛盾（应有，所以是唯一的. 1