北京林业大学《高等数学B》李扉-活页答案-第五章.docVIP

5.1 定积分的概念与性质 1.填空题 (1) 根据定积分的几何意义， 12 ,____0____ (2）设，则_____5____， ____-5___， . 2.选择题 （1） 定积分值的符号为 （） 大于零 小于零 等于零 不能确定 （2）曲线与轴所围成的图形的面积可表示为（） ； ； ； 3.利用定义计算定积分. 解：将区间等分，则每个小区间的长度，每个小区间上取右端点，于是 4. 比较下列各对积分的大小： （1）与 解：当时，， 所以， 从而 （2）与 解：当时，，所以， 从而 （3）与 解：因为，所以 （4）与 解：当时，， 从而 5.估计积分的值： 解：设，先求在上的最大、最小值， 由得内驻点，由知 由定积分性质得 6.求证： . 证明：在区间上的最大值、最小值分别为，由性质6可知结论成立. 7.设在区间上可微，且满足条件，试证：存在，使. 证明：设，由积分中值定理可知，存在，使 从而， 可知在上满足罗尔定理，所以存在，使，即. 8.已知函数连续，且，求函数. 解：设，则，于是 ， 得，所以. 5.2 微积分基本公式 1.填空题 (1) 0 , (2) , (3) (4)已知，则 (5)已知， 则 （6）已知，则 (7) 由参数方程所确定的函数的导数= 2. 求由方程确定的函数的导数. 解： 3.求下列极限 （1） 解：原式= （2） 解：原式= = 4.计算下列定积分 （1） 解：原式= （2） 解：原式= (3) 解：原式= （4） 解：原式= （5） 解：原式= （6） 解：原式= （7） 解：原式= (8) 解：原式= （9） 解：原式= （10） 解：原式= （11） 解：当时，原式； 当时，原式； 当时， 原式 5. 设，求， 并讨论在区间上的连续性。 解：当时， ， 当时， ， 在区间上处处连续. 6.设在[a,b]上连续,在（a, b）内可导,且,证明在（a, b）内有. 证明： 由于，所以当时，， 从而结论成立！ 5.3 定积分的换元法和分部积分法 1.计算下列定积分 （1） 解：原式= （2） 解：原式= （3） 解：原式= （4） 解：原式= （5） 解：原式= （6） 解：原式= (7) 解：令，则原式= （8） 解：令，则原式= （9）设，求。 解：令 原式= (10) 解：原式 （11） 解：原式 （12） 解：原式 （13） 解：原式= （14） 解：原式 = (15) ,其中 解：因为， 所以 2.证明题 (1) 证明 证明：令，则 （2）设为连续函数，证明. 证明： 3.设在上连续，且，求 . 解： 4.若函数满足，且，求.解：因为 所以，两边求导数，得 ，取，。 5.4 反常积分 1.选择题 下列各项正确的是（ ） 当为奇函数时， 反常积分与有相同的敛散性 = = 2. 判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值： （1） 解：由定义，反常积分发散，所以原积分发散. （2） 解：原式 （3） 解：原式 （4） 解：原式 (5) 解：令，则原式 （6） 解： ，所以反常积分发散. (7) 解： (8) 解：令，则原式 3.利用递推公式计算反常积分. 解：利用分部积分，， 依次递推，得，而， 所以 4.已知，求 （1）； （2） 解：（1） （2） 第五章综合练习题 1.选择题 （1）设函数在内连续，且，则的值（ ） 依赖于 依赖于 依赖于，不依赖于 依赖于，不依赖于 （2）设在上令 ，则（ ）. （3），则为（ ）. 正常数 负常数 恒为零 不为常数 提示： ，而. (4) 下列反常积分发散的是（ ） 2. 计算题 （1）求 解：原式 （2）设函数可导，且，， 求. 解：令，则， 所以 （3）计算 解：原式 （4）计算 解：原式 （5）已知，求的值. 解：由条件有， 即 所以. （6）设连续非负函数满足，求. 解：令， ，从而，故. 3.当时满足方程 且在有连续一阶导数,又,求. 解：两边对ｔ求导，得， 令ｔ＝１，得， 对求导，得，即， 所以，又由知， 故.　 4.设，在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数）， （1）证明： （2）利用（1）结论计算定积分 证明：（1） ， 令， ，所以 （2）取，，，且， 所以