矩阵乘积的行列式(高等代数课件).ppt

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩 引入 行列式乘法规则 其中 则 一、矩阵乘积的行列式 定理 1 设 A，B 是数域 P 上的两个 n ? n 矩 阵，那么 | AB | = | A | | B | ， (1) 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘 证明 这个定理就是第二章第八节的 积. 用数学归纳法，定理 1 不难推广到多个因子的 情形，即有 推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n ? n 矩阵，于是 | A1 A2 … Am | = | A1 | | A2 | … | Am | . 定义 若 ，称 为退化的． 若 ，则称 为非退化的； 注： 级方阵 非退化 ； 级方阵 退化 设 为数域 上的 级方阵， 二、非退化矩阵 推论 设 为数域 上的 级矩阵，则 非退化 都非退化 证： 退化 或 退化 非退化 且 都非退化 . 三、矩阵乘积的秩 定理2 设 为数域 上的矩阵，则 证： 令 设 的行向量组为 的行向量组为 则向量组合 即有 故 可由 线性表示. 所以 ． 同理， 证明： 例1．设A为n级方阵，且 证： 又由　　　　　有 而 于是有 所以 三、矩阵乘积的秩推广 定理2 设 为数域 上的矩阵，则 推广 如果 ，则 §4.3 矩阵乘积的行列式与秩