空间向量的直角坐标运算(公开课).ppt

§3.1.4 空间向量的直角坐标运算 例1 已知a=(1,-4,8),b=(3,10,-4),求a+b, a·b,3a-2b. 变式 已知a+b=(1,-4,8),a-b=(3,10,-4),求3a-2b 变式训练，提高能力 变式训练，提高能力 变2.已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,n,10), D(8,4,m),又四边形ABCD是梯形，且AB∥CD, 求实数m,n的值。 * * 学校：凌海市第三高级中学 授课人：焦龙 空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面， 那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p=xa +yb+zc 思 考: 空间向量的基本定理是由什么类比 推广而得到的呢？ 平面向量 基本定理 空间向量 基本定理 类 比 推 广 在平面直角坐标系中如何用坐标表示 向量呢？ 思 考: 平面向量 坐标表示 空间向量 坐标表示 类 比 推 广 墙 墙 地面 z 1 3 4 x 4 y 1 5 O 一、空间直角坐标系 空间直角坐标系的画法: o x y z 1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴． 1350 1350 2.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半． 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i, j, k}这个基底叫做单位正交基底,单位向量i, j, k都叫做坐标向量. 建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴, y轴,z轴的正方向引单位向量i, j, k. 空间向量的直角坐标运算 a=xi+yj+zk 在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一数组(x,y,z),使 xi,yj,zk 分别为向量a在i,j,k方向上的分向量, 有序数组(x,y,z)，叫作向量a在此直角坐标系中的坐标.记作 a=(x,y,z) 空间向量的直角坐标运算 思 考: 平面向量用坐标表示后，平面向量 有哪些线性运算法则？如何类比推 广到空间呢？ 平面向量坐标运算 利用学过的知识，你能类比猜想出空间向量运算的坐标表示吗？ 动动脑，动动手，你会得到意想不到的收获 空间向量坐标运算 平面向量坐标运算 a+b=(1,-4,8)+ (3,10,-4) =(1+3,-4+10,8-4) =(4,6,4) a·b = (1,-4,8) · (3,10,-4)=3-40-32=-69 3a-2b =3 (1,-4,8)-2 (3,10,-4) =(-3,-32,32) 法一： 由a+b=(1,-4,8),a-b=(3,10,-4), 得2a=(a+b)+(a-b)=(4,6,4); 2b=(a+b)-(a-b)=(-2,-14,12); 即a=(2,3,2);b=(-1,-7,6); 所以3a-2b=(8,23,-6) 法二： 设3a-2b=m(a+b)+n(a-b) =(m+n)a+(m-n)b 则m+n=3,m-n=-2; m=1/2,n=5/2; 所以3a-2b=1/2(a+b)+5/2(a-b) =(8,23,-6) (-2,3,1) (2,-4,1) (4,-8,2) (10,1,8) (12,-3,9) 变1:已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), D(8,4,9),求证四边形ABCD是梯形。 B C= (8,5,7) 例3:已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2) ，求向量n 使n⊥a ，且n⊥b .