立体几何证明题专题(教师版).doc

立体几何证明题 考点1：点线面的位置关系及平面的性质 例1.下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________． 【解析】　由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示． 在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错． 【答案】　④ 2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　) A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 答案　B 解析　对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾． 对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线． 对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条． 对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条． 3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定 (　　) A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行 答案　C 解析　若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾． 考点2：共点、共线、共面问题 例1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 (　　) 【解析】　①在A中易证PS∥QR， ∴P、Q、R、S四点共面． ②在C中易证PQ∥SR， ∴P、Q、R、S四点共面． ③在D中，∵QR?平面ABC， PS∩面ABC ＝P且P?QR， ∴直线PS与QR为异面直线． ∴P、Q、R、S四点不共面． ④在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下： 取BC中点N，可证PS、NR交于直线B1C1上一点，∴P、N、R、S四点共面，设为α. 可证PS∥QN，∴P、Q、N、S四点共面，设为β. ∵α、β都经过P、N、S三点，∴α与β重合，∴P、Q、R、S四点共面． 【答案】　D 2.空间四点中，三点共线是这四点共面的 (　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 3.下面三条直线一定共面的是 (　　) A．a、b、c两两平行 B．a、b、c两两相交 C．a∥b，c与a、b均相交 D．a、b、c两两垂直 答案　C 4.已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点． 【解析】　设α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c， 由a?β，b?β，则a∩b＝O，如图(1)， 或a∥b，如图(2)，若a∩b＝O， O∈a，a?α，则O∈α，O∈b，b?γ，则O∈γ， 又γ∩α＝c，因此O∈c； 若a∥b，a?γ，b?γ，则a∥γ，又a?α，α∩γ＝c，则a∥c. 因此三条交线相交于一点或互相平行． 5.如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝. (1)求证：三条直线EF，GH，AC交于一点． (2)若在本题中，＝＝2，＝＝3，其他条件不变．求证：EH、FG、BD三线共点． 【解析】　(1)∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴由中位线定理可知，EH綊BD. 又∵＝＝， ∴在△CBD中，FG∥BD，且FG＝BD. ∴由公理4知，EH∥FG，且EHFG. ∴四边形EFGH是梯形，EH、FG为上、下两底． ∴两腰EF、GH所在直线必相交于一点P. ∵P∈直线EF，EF?平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC. ∴P在平面ABC和平面ADC的交线上． 又∵面ABC∩面ADC＝AC， ∴P∈直线AC. 故EF、GH、AC三直线交于一点． (2)∵＝＝2， ∴EF∥AC. 又＝＝3，∴HG∥AC，∴EF∥HG，且EFHG. ∴四边形EFGH为梯形． 设EH与