第04章 聚合物熔体流动3-2013.ppt

* 因为 并矢与单点积不同,并矢是张量,但单点积是标量.要注意其区别,并矢中没有点,单点积有点. * 矩阵的运算实际上是把矩阵当作一个“量”来运算，《线性代数》P118，两个矩阵A、B乘积其得到的新的矩阵第i行、第j列上元是 A的第i行上各元分别与B的第j行上各元相乘的和. B的第i列上各个元素乘积之和。 * 从弹性力学知道,每一点处的应力状态可以用作用于任意选取的三个相互垂直的面素上的三个应力(共9个分量)来表示,而且随着面素在空间中的取向各不相同,应力张量的分量个不相同.但是,总可以找到这样三个相互垂直的面素(或者说坐标系),其上仅作用有主应力σ1、 σ2 和 σ3。这样三个坐标轴1‘、 2‘、 3‘称为应力状态主轴（简称应力主轴）。应力主轴在空间的取向和主应力的大小是由该点处的应力状态决定的，而应力状态是由材料性质和外界作用力决定的物理状态。它与坐标的选择是无关的，因此应力主轴在空间的取向和主应力的大小是坐标转换时的不变量。可以证明主应力与应力张量的分量有（4.3-20)及（4.3-21)的关系. * 在一定的应力状态下，尽管面素的取向不同时应力张量的分量是不同的，但是按上面的由应力张量组成的计算式的计算值是不变的定值I1、I2、I3。 4.3 聚合物加工计算应用的张量知识 介绍聚合物熔体流动分析常用的张量概念及基本运算 例如固体中的应变张量、流体中的应变速率张量。 选定测量单位之后，仅用数值大小就能说明其性质的物理量称为标量。如温度、密度、流体中的压强、导热率、能量等。 除大小外还要有方向才能确定的物理量称为向量,用三个标量（分量）来描述, 例如速度、加速度、力等。 应力是随作用面的方位不同而改变其大小和方向的，不能用过该点的一个固定应力来描述应力状态。 只需知道三个相互垂直面上的应力描述。应力由三个向量来确定的，把在一点处不同方向具有不同值的物理量称为张量。 (1) 标量、向量（矢量）和张量 一、张量的概念及应力张量 张量物理定义：一点处不同方向面上具有不同矢量值的物理量。 张量数学定义：在笛卡儿坐标系上一组有3n个有序矢量的集合。 1 ∵每个向量可以分解为三个分量， ∴应力张量有九个分量，或者说决定应力张量要用九个分量。 图3-1 应力张量示意图 (4.3-1 ) 应力称为二阶张量： 应力张量的分量总数是32， ∵指数是2，故称为二阶张量。 张量观点看， 标量称为零阶张量， 向量称为一阶张量， 30 31 32 分量数 2 (4.3-2) 柱坐标系γ、θ、z应力张量的矩阵形式为： 在直角坐标系x、y、z和中，应力张量的矩阵形式为： 应力张量矩阵里各应力分量描述： 第一个下标表示应力分量作用面的法线方向； 第二个下标表示应力分量的方向。 主对角线上应力分量下标相同， (4.3-3) 应力分量 剪应力互等定理，在非主对角线上应力分量是对称于对角线的，因此应力张量是对称张量。 分别表示垂直作用于三个主平面上，即是法向力。 3 算子是具有矢量和微分双重性质的符号，即矢量和微分，所以它既服从矢量运算法则也要按微分运算法则 以下以常用的几个物理量说明算子的应用。 （2）哈密尔顿算子（Hamilton operator） 哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。哈密尔顿算子在直角坐标系中的表达式为： 4 流动与变形的材料在空间中每一点，都对应着物理量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标量场和矢量场。 梯度（Gradient）是矢量。这个矢量的方向为该标量变化最大的方向，大小为这个最大变化率的数值。 (4.3-4) 场： 直角坐标系 a . 标量场的梯度 记为 它是温度、密度、浓度等标量场不均匀程度的度量。 为标量 5 （角标相同分量乘积的和） 两个矢量的点乘积定义为一个标量 梯度的运算法则有 矢量的运算 6 b.