第15讲 全等形与相似形教案.doc

第15讲 全等形与相似形 全等形和相似形是平面几何的重点内容，全等三角形和相似三角形是其中的主要内容．全等三角形是相似三角形的特殊情形，这两部分知识在中学数学中占有重要地位，同时这两部分知识也是研究几何的基础，它对进一步的学习和对思维能力的培养都是非常重要的． 1.全等三角形的判定与性质 判定 边角边公理SAS、角边角公理ASA、角角边定理AAS、边边边定理SSS. 若三角形是直角三角形还可以用斜边直角边定理HL. 性质 全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应位置上的线段和角都相等． 2.相似三角形的判定与性质 判定 ①一个角对应相等，并且夹这个角的两边对应成比例； ②两个角对应相等； ③三条边对应成比例； ④两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例． 性质 相似三角形的对应角相等；对应边的比、对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比以及周长之比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 3.常用方法 论证的过程通常是，由待证明的等式反过来找相应的三角形，然后证明相应的三角形全等或相似．而“相应的三角形”往往不是现成的，需要我们去构造，去作辅助线．在竞赛中，连续证多次全等或相似是常见的． A类例题 例1 如图，点C是线段AB上一点，(ACD和(BCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE、BD分别交CD、CE于G、H. 求证:GH∥AB． 分析 要证明GH∥AB，也就是要证明(GCH为等边三角形，即要证明CG=CH，从而可以通过三角形全等来解决，于是有下面的证法． 证明 如图，∠1=∠2=∠3=600， ∴∠DCB=∠ACE=1200． 又∵AC=CD，CE=CB， ∴(ACE≌(DCB． ∴∠4=∠5． 又∵∠1=∠3，CB=CE， ∴(CGE≌(CHB． ∴CG=CH． ∴(GCH为等边三角形，∠GHC=∠HCB=600． ∴GH∥AB． 链接 从几何变换的角度(ACE顺时针旋转600得到(DCB．一般来说，平移、旋转等变换都是全等变形． 例2 在∠A的两边上分别截取AB=AC，在AB上截取AE，在AC上截取AD，且使AD=AE.试问:BD与CE的交点P是否在∠A的平分线上? 分析 要判断P是否在∠A的平分线上，可以连结AP，判断∠BAP与∠CAP是否相等，于是可以通过三角形全等来证明． 解 ∵AB=AC，AD=AE，∠A=∠A， ∴(ABD≌(ACE． ∴∠ABP=∠ACP． 又∵AB=AC，AE=AD， ∴BE=CD． 又∠BPE=∠CPD，∠ABP=∠ACP， ∴(BPE≌(CPD． ∴PE=PD． 连结AP． 又∵AE=AD，AP=AP，PE=PD， ∴(AEP≌(ADP． ∴∠BAP=∠CAP． ∴点P在∠BAC的平分线上． 说明 ①本题实际上又提供了一种作角平分线的方法； ②由(BPE≌(CPD可知BE和CD边上的对应高相等，从而点P在∠BAC的平分线上． 情景再现 1．(ABC中，AB=AC，E为AB上一点，F为AC的延长线上一点，EF交BC于D，DE=DF，求证：BF=CF． 2．如图，已知(ABC中，(ACB=900，AD(AB，AD=AB，BE(DC，AF(AC，求证:CF平分(ACB． B类例题 例3 已知在等腰直角(ABC中，(A是直角，D是AC上一点，AE(BD，AE的延长线交BC于F，若(ADB=(FDC，求证:D是AC的中点． 分析 要证明D是AC的中点，可以构造两个全等三角形，证明两条线段相等． 证明 过C作CG(AC,交AE的延长线于点G， ∵(BAC=900， ∴(1+(3=900． ∵AE(BD， ∴(2+(3=900． ∴(1=(2． 在(ABD与(CAG中， ∠BAD=∠ACG=900， AB=CA，∠1=∠2， ∴(ABD≌(CAG． ∴∠3=∠5，AD=CG． ∵AB=AC，∠BAC=900，∴∠ACB=450． ∵∠ACG=900，∴∠GCF=450． ∵∠4=∠3．∴∠4=∠5． 在(DCF和(GCF中， ∠4=∠5，∠DCF=∠GCF，CF=CF， ∴(DCF≌(GCF． ∴DC=GC． ∴AD=DC． 说明 事实上本题由等腰直角三角形可以补成正方形，很自然就可以添加本题的辅助线，“补形”是添辅助线常用的方法之一． 例4 已知：在(ABC中，BC=2AB，AD是BC边上的中线，AE是(ABD的中线．求证：AC=2AE． 分析 题目中涉及到中点和倍差关系，因此可以利用中点的性质和截长补短的方法作辅助线，从而有下列证法. 证法一 延长AE到F,使AE=EF,连BF,DF. 在(ABE与(FDE中 ∵AE=FE,BE=DE,(1=(2, ∴(ABE≌(FDE ∴AB=FD,(4=(3 ∵BC=2AB,D为BC的中点 ∴AB=CD