高等数学B（林业大学）第四节 一阶线性微分方程.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第四节 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式 上面方程称为 上面方程称为 如 线性的; 非线性的. 齐次的; 非齐次的. 线性 一阶 自由项 一阶微分方程 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) (C1为任意常数) 一阶微分方程 , ln d ) ( | | ln 1 C x x P y + - = ò 2. 线性非齐次方程 线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况. 显然线性非齐次方程的解不会是如此, 之间应存在某种共性. 设想 非齐次方程 待定函数 线性齐次方程的通解是 但它们 一阶微分方程 的解是 从而C(x)满足方程 一阶微分方程 即 一阶线性非齐次微分方程的通解为 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为 待定函数的方法. 一阶微分方程 . ) ( ) ( d d 的解 是 x Q y x P x y = + 非齐次方程的一个特解 对应齐次方程通解 一阶线性方程解的结构 注 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程 的常数变易法对高阶线性方程也适用. 一阶微分方程 解 例 一阶线性非齐次方程 一阶微分方程 解 积分方程 一阶微分方程 例 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x) 阴影部分的面积, 一阶非齐次线性方程 即 截下的线段PQ之长数值上等于 求曲线 y = f (x). ) 0 ( 3 3 = x x y 与 所求曲线为 一阶微分方程 一阶微分方程 例 静脉输液问题. 静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术. 研究这一过程, 设G(t)为时刻 t 血液中葡萄糖含量, 与此 血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移 其速率与血液中的葡萄糖含量成正比. 试列出描述这一现象的微分方程, 为了 到其他地方, 含量. 糖以常数 同时, 解 因为血液中的葡萄糖含量的变化率 加速率与减少速率之差, 等于增 而增加速率为 减少 速率为 其中 为正的比例常数,所以 需要知道t 时刻中血液中的葡萄糖 且设葡萄 的固定速率输入到血液中, 并解之. 常数k, 一阶微分方程 即 关于G的一阶线性非齐次方程 由通解公式,得 设G(0)表示最初血液中葡萄糖含量, 于是 定出 则可确 例 解方程 若将方程写成 则它既不是线性方程, 又不能分离变量. 若将方程写成 以x为未知函数, 即 一阶非齐次线性方程. 分析 y 为自变量的 一阶微分方程 此外, y = 1也是原方程的解. 解 一阶微分方程 0 d ) ln ( d ln = - + y y x x y y 注 参数形式的. 解方程时, 通常不计较哪个是自变量哪个是 因变量, 视方便而定, 关系. 关键在于找到两个变量间的 解可以是显函数, 也可以是隐函数, 甚至是 一阶微分方程 形如 的方程, 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 需经过变量代换化为线性微分方程. 解法 称为 一阶微分方程 伯努利(Bernoulli)方程. 事实上, 用 除方程的两边,得 雅个布· 伯努利 (瑞士) 1654-1705 伯努利(Bernoulli)方程 即 可见只要作变换, 方程就可化为z 的一阶线性方程 伯努利方程的通解 令 一阶微分方程 解 例 伯努利方程 作变换 则方程化为 即 它的通解为 故原方程的通解为 一阶微分方程 熟悉求解方法后,也可以不引入新变量, 注 例 解方程 解 这不是线性方程, 但若把 y视为自变量, 两边除以 一阶微分方程 n=2的伯努利方程. 也不是伯努利方程. 方程写为: 而直接按上述方法求解. 即 即 一阶微分方程 分析 这不是前面的典型类型中的任何一种, 可仿照伯努利方程的解法, 可化为线性方程 解 则 上式成为 即 线性方程 一阶微分方程 例 两边, 得 从而 于是得 即 一阶微分方程 可分离变量的微分方程 分离变量 两端积分 一阶线性微分方程 一阶微分方程 六、小结 解法: 隐式(或显式)通解 伯努利微分方程 一阶微分方程 齐次方程 一阶微分方程 一阶微分方程的解题程序 (1) 审视方程, 判断方程类型; (2) 根据不同类型, 确定解题方案; (3) 若方程的求解最终化为分离变量型的, 则作适当变换; (4) 做变量替换后得出的解, 最后一定要 还原为原变量. 自修作业 习题7-4(315页) 1.(2)(5)(8)(10) 2.(3)(5) 3. 8.(2)(4) 认真读书，然后再做作业！！ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *