高等数学B（林业大学）第五节 可降阶的高阶微分方程.pptVIP

* * * * 小结 思考题 作业 型的方程 型的方程 型的方程 第五节 可降阶的高阶微分方程 第七章 微分方程 * 一、 型的方程 特点 是未知函数 y 的n 阶导数, 且不含未知函数 y 及其 两边积分 …… 接连积分n次, 右端是 自变量x的一个已知函数, 导数 左端 再积分 得到含有n个任意常数的通解. 可降阶的高阶微分方程 * 例 求解方程 解 将方程积分三次, 得 最后得到的就是方程的通解. 可降阶的高阶微分方程 * 二、 型的方程 特点 方程缺y. 解法 将p作为新的 则方程变为 这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程. 如果其通解为 则由 再积分一次, 可求出原方程的通解 设 未知函数， 可降阶的高阶微分方程 * 例 解方程 因方程中不含未知函数y, 解 令 代入原方程, 得 p的可分离变量的一阶方程 由初始条件 知C1=4, 所以 y的分离变量方程 可降阶的高阶微分方程 * 再由初始条件 知C2 = 1 故所求解为 可降阶的高阶微分方程 * 令 求出通解后, 只须作变换, 再积分k次,即可求得原方程的通解. 方程就可化为 阶方程 可降阶的高阶微分方程 * 例 解方程 解 令 则方程变为 由分离变量法解得 于是 所以原方程的通解为 积分4次 可分离变量方程 可降阶的高阶微分方程 * 特点 解法 方程缺自变量x 三、 型的方程 则 方程变成 这是关于变量y , p 的一阶方程. 设它的通解为 分离变量并积分, 得通解为 设 可降阶的高阶微分方程 * 解 代入原方程 例 可分离变量方程 即 可分离变量方程 可降阶的高阶微分方程 * 可降阶的高阶微分方程 * 解 代入原方程 原方程通解为 例 可降阶的高阶微分方程 * 从而通解为 或解 注 有些高阶方程也可用类似于“凑全微分” 的方法求解. 可分离变量方程 两端同乘不为零的因子 可降阶的高阶微分方程 * 解 将方程写成 两边积分后得通解 例 可分离变量方程 分离变量 可降阶的高阶微分方程 * 2002年考研数学一, 3分 微分方程 满足条件 的特解是 或 解 可分离变量方程 即 可降阶的高阶微分方程 * 四、小结 解法: 通过代换将其化成较低阶的方程来求解. 可降阶的高阶微分方程 * 自修作 业 习题7-5(323页） 1.(2)(5)(7)(10) 2.(2)(3)(6) 先读书，再写作业 可降阶的高阶微分方程 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *