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北京林业大学第 二 学期考试试卷
课程名称： 高等数学B （A卷） 课程所在学院： 理学院
填空：（每小题3分，共30分）
1. 齐次方程可通过变量代换 化为可分离变量方程。
2. 已知，分别是和的特解，则方程的特解为 。
3. 设，求_____-18______，________。
4. 在空间直角坐标系下表示母线平行于__y____坐标轴的__抛物_____柱面。
5. 二元函数在点处两个偏导数与存在且连续是在该点处可微分的_______充分_____________条件。
6.函数在点处具有偏导数，则是在点处有极值的____必要_______条件。
7. 在数值上等于平面有界闭区域D的_面积_，等于空间有界闭区域的体积。
8.是级数收敛的 必要 条件。
9. 级数当 时收敛,当 时发散。
10. 设级数，，则级数 8 。
二、计算下列各题（每题5分，共60分）
1.求的通解
解： （3分）
（2分）
或方法二：第一步求出相应齐次方程的通解 （3分）
第二步应用常数变异法得出原方程通解 （2分）
2．设 ，求
解： （3分）
（2分）
3. 设 ， 求， 其中具有连续一阶偏导数
解： （3分）
（2分）
4.设方程确定了隐函数，求
解： （2分）
（2分）
（1分）
5.求过点及轴的平面方程
解：（1）点法式：法向量 （3分）
平面方程为： （2分）
（2）一般式：平面
过轴 （3分）
过
平面方程为： （2分）
6．设函数连续，且满足方程求
解：所给等式两端对求导并整理得
（1分）
上式两端再对求导并整理得
（1分）
则的通解为
（1分）
方程的特解设为代入方程可得
方程的通解为
（1分）
又，得所求解为
（1分）
7.在抛物柱面与的交线上，求对应的点处的切线方程及法平面方程
解：交线的参数方程为，于是
得切向量为 （3分）
所求切线方程为
法平面方程为
即 （2分）
8.设求，其中
如图
（3分）
（2分）
9计算，其中是由及坐标轴所围在第一象限的区域
解： （3分）
（2分）
10.设是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面围成的空间区域，求
解：由曲线绕轴旋转一周而成曲面方程为
由 （2分）
（2分）
（1分）
11. 判别级数的收敛性
解：根值法
（4分）
因为，所以原级数收敛。 （1分）
12. 求级数 （=3e）
解
（2分）
（3分）
三（5分）.设曲面的方程，平面的方程是，试在曲面上求一个点的坐标，使该点与平面的距离为最近，并求此最近距离。
解：法一：上取一点，与平面的距离为：
（2分）
解得唯一驻点， （2分）
其最近距离为 （1分）
法二：求上的点，使处切平面与平面平行，得
（2分）
解得，
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