高等数学B（林业大学）第一节 向量及其线性运算.pptVIP

* 五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与空间两点间点的距离 由勾股定理 向量模的坐标表示式 * 为空间两点. 在直角三角形 和 中, 用勾股定理 向量及其线性运算 空间两点间距离公式 * 若两点分别为 特殊地 向量及其线性运算 向径 空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量. 常用 表示. 空间两点间距离公式 * 解 设P点坐标为 所求点为 向量及其线性运算 例 的距离为到 的距离的两倍, 求点P的坐标. * 解 原结论成立. 向量及其线性运算 * 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为 非零向量 的方向角： 向量及其线性运算 (direction angle ) 2. 方向角与方向余弦 * 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦 向量模长的坐标表示式 向量及其线性运算 (direction cosine ) 通常用来表示向量的方向. * 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 方向余弦的特征 特殊地 向量及其线性运算 = ) cos , cos , (cos g b a * 解 已知两点 同方向的单位向量。 例 求与 * 例 已知两点A(2,2, )和B(1,3,0),求 的模，方向余弦和方向角 。 解： * 解 或 所求向量有两个, 一个与 同向, 一个与 反向. 向量及其线性运算 求平行于向量 的单位向量 例 的分解式. * 解 向量及其线性运算 设有向量 例 已知 它与x轴和y轴的 夹角分别为 如果P1的坐标为(1,0,3), 求P2的坐标. 设向量 的方向角为 * 向量及其线性运算 设P2的坐标为 P2的坐标为 * 空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直平面, 即为点A在轴u上 的投影. 向量及其线性运算 空间一向量在轴上的投影 轴u称为投影轴. 已知向量的起点A和终点B 在轴u上的投影分别为 那么轴u上的有向线段 的值, 称为向量在轴u上的 投影. 3.向量在轴上的投影 * Projection 在轴u上的 向量 轴与向量的夹角的余弦： 向量 在轴u上的 投影 记为 投影性质1 投影等于向量的模乘以 向量及其线性运算 投影有正、 注 负之分; 模只为正值. * （可推广到有限多个） 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量 在该轴上的投影之和. 向量及其线性运算 投影性质2 投影性质3 注：向量在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标就是 该向量在三条坐标轴上的投影。 * 向量及其线性运算 起点 终点 向量在x轴上的投影 向量在y轴上的投影 向量在z轴上的投影 按基本单位向量的坐标分解式： 向量的坐标表达式： 坐标 坐标 坐标 x轴分向量 y轴分向量 z轴分向量 特殊地 * 例10 解 * 解 向量及其线性运算 求向量 例 在x轴上的 投影及在y轴上的分向量. 在x轴上的投影为 在y轴上的分向量为 * 1 证 例 向量及其线性运算 u B A 2 1 , u u B A 坐标依次为 、 e u e u r r 1 2 - = . ) ( 1 2 e u u r - = * 向量及其线性运算 六、小结 向量的概念 向量的线性运算 （注意:与数量的区别与记法） (平行四边形法则, 三角形法则, 注意数乘后的方向) 空间直角坐标系 (注意它与平面直角坐标系的区别) (点、坐标轴、坐标面、卦限) 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. (注意分向量与坐标的区别) * 利用坐标作向量的线性运算. 空间两点间距离公式 向量及其线性运算 向量的模、方向角、方向余弦. 向量在轴上的投影与投影性质. * 思考题1 向量及其线性运算 解 对角线的长为 求以向量 为边的平行四边形的对角线的长度. 平行四边形的对角线的长度各为 * 作业 习题8-1 (12页) 向量及其线性运算 1. 4. 5. 15. 18. 19. * * * 第八章 空间解析几何与向量代数 几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代数方法研究了几何问题. 讨论如下几个问题: 1. 向量、向量的一些运算; 2. 空间中的平面与直线; 3. 空间中的一些曲面和曲线; 4. 二次曲面. 在平面解析几何中, 本章把这种方法运用到三维几何空间, 曾通过坐标法把二维 * 第一节 向量及其线性运算 向量概念 向量的线性运算 小结 思考题 作业 空间直角坐标系 利用坐标作向量的线性运算 向量的模 方向角 * 向量 既有 向量表示 模长为1的向量. 零向量 模长为0的向量. | | 向量的模 向量的大小. 单位向量 或 或 或 的量. 又有 大小 方向 以 为起点, 为终点的 有向线段. 一、向量概念 向