第2.2节——教育统计的特征量.ppt

第二节 教育统计的特征量 对杂乱无章的数据资料经过初步整理后，可以用统计表和统计图直观表现出数据的全貌。这种对统计资料粗略的、直观的概括是很有用的。 但要进一步进行分析研究，只靠图表是不够的，还必须通过数据求得一些特征量，以此来解释统计资料的集中趋势、离散程度和相关程度等各项特点。其中描述统计资料的集中趋势的特征量是集中量；描述统计资料的离散程度的特征量是差异量；描述统计资料的相关程度的特征量是相关量。 一、集中量 集中量是代表一组数据典型水平或集中趋势的量。它描述数据分布的规律性，也能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。常用的集中量有平均数、中位数和众数。 （一）平均数 平均数是使用比较广泛，也较为简单易懂的一种集中量，它能反映一组数据资料的某种水平。 1.算术平均数 （1）算术平均数的概念 算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商，简称平均数，用 表示。 设变量X1，X2，X3，…，Xn代表各次观察的结果，以N为观察的次数。则 可简化为 （2）算数平均数的计算方法 ①原始数据法 ②频数分布表法 在这里， X1，X2，…，Xk表示第1组到第k组的组中值； f1，f2，….，fk表示第1组到第 k组的频数； 2.加权平均数 （1）加权平均数的概念 加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，用 表示如下： 在这里， 表示加权平均数；W表示各观察值的权数；X表示具有不同比重的观察值。 （2）加权平均数的计算方法 ①原始数据法：已知原始观察值，又知各原始数据的权数，则用原始数据法按定义式计算。 例如：某生平时数学成绩为80分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分。按学校规定学期成绩中平时占20%，期中占30%，期末占50%。问该生学期总评成绩应为多少分？ ②频数分布表法 已知各组的平均数和各组的频数，则可用频数分布表法。公式为： 在这里， 表示各组的平均数； N 表示各组的频数。 例如，某年级各班的一次数学考试成绩如下表，求全年级的总平均分。 3.几何平均数 （1）几何平均数的概念 几何平均数是 N 个数据连乘的 N 次方根。用 表示。用公式表示如下： 若数据较多或较大时，可用取对数的方法来求几何平均数，即 故几何平均数的对数实际上是各数据的对数算术平均数。 （2）几何平均数的计算方法 几何平均数适用于计算具有递增（或递减）性数据的集中量，计算方法直接用以上定义公式便可求出。 例如，近几年某地区职业学校在校学生人数如下表。 求（1）这4年在校学生的平均数； （2）年平均增长率。 （1）显然，这是一组具有递增性的数据，故其平均数宜用几何平均数，不宜用算术平均数。按公式可得： 故这4年在校学生平均数为1196人。 （2）本例中为求年平均增长率，需先求出以前一数据为基础的逐年增长的比值，即 800÷ 500 = 1.6 , 1 600 ÷800=2，3200÷1600=2 , 然后用公式可求出这些比值的平均数： 由于 还包含着以第 1 年的数据作为基数（即 1） ，因而在求年平均增长率时，要减去1，即1.86-1=0.86=86%。故年平均增长率为86％。 4.调和平均数 （1）调和平均数的概念 调和平均数是一组数据倒数的算术平均数的倒数，也称倒数平均数．用 表示．用公式表示如下： （2）调和平均数的计算方法 调和平均数适用于求平均速率一类的问题．计算方法直接用以上定义公式便可解出．例如，设甲、乙、丙 3 个学生的解题速度如下：甲生每小时 8 题、乙生每小时 7 题、丙生每小时 10 题．求 3 人平均解题速度。由于此例是求平均速度问题，故宜用求调和平均数的方法．根据公式有： 验证： 由于解1道题甲生所需时间为h=0.125h，乙生所需时间为h=0.143h，丙生所需时间为h=0.1h，则他们各解1道题（即共解3道题）所需时间为0.368h。由于所求的倒数平均数即为他们的平均解题速度，故在0.368h里他们共解题数为0.368×8.15=3（题），可见与事实相符。 算术平均数在几何或物理上表示一组数据的中心或重心位置， 它可用于各组数据之间集中水平的比较； 加权平均数用于求不同比重数据（或平均数）的平均数； 几何平均数适用于计算具有递增（或递减）性数据的集中量； 调和平均数适用于求平均速率一类的问题。 （二）中位数 1.中位数的概念 中位数是位于以一定顺序排列的一组数据中央位置的数值，在这一数值上下各分布着一半频数。中位数常用Md表示。 中位数也是一个常用的表示集中趋势的指标， 对于分布大致对称的数据，中位数与算术平均数十分接近。 而当数