高等数学B（林业大学）第三节 曲面及其方程.PPTVIP

与平面 的交线为椭圆. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. 用伸缩变形法讨论： 椭圆抛物面 面上抛物线 旋转抛物面 z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下： （2）双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论： x y z 0 图形如下： x y z o （四）双曲面（单叶双曲面、双叶双曲面） （1）单叶双曲面 特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号. 炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面的形状. 截痕法: 类似地, 亦表示 单叶双曲面 单叶双曲面. 方程 曲面及其方程 伸缩变形法： 旋转单叶双曲面 把双曲线 绕 轴旋转而得 再把旋转单叶双曲面沿 轴方向伸缩 倍，便得单叶双曲面。 （2）双叶双曲面 或 特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号. 它分成上、下两个曲面. 注 类似地, 或 亦表示 双叶双曲面 或 方程 双叶双曲面. 曲面及其方程 伸缩变形法： 旋转双叶双曲面 把双曲线 绕 轴旋转而得 再把旋转双叶双曲面沿 轴方向伸缩 倍，便得双叶双曲面。 方程 表示( ) (A) 双曲柱面; (D) 锥面. (C)双叶双曲面; (B)旋转双曲面; B 椭圆抛物面 双曲抛物面(马鞍面） 填空 设有曲面方程 则方程表示的曲面为 方程表示的曲面为 曲面及其方程 选择 第三节 曲面及其方程 曲面方程的概念 (surface) 旋转曲面 柱面 二次曲面 (surface of revolution) (cylindrical surface ) (quadratic surface) 曲面方程的定义 (1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 如果曲面S 有下述关系: 那么, 就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形. 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 与三元方程 0 ) , , ( = z y x F 曲面的参数方程为 凡三元方程都表示空间一曲面 是一个三元方程, 注 但不表示任何曲面. 错, 如 曲面及其方程 以下给出几例常见的曲面. 解 所求方程为 球心在原点的球面方程 例 特殊 是球面上任一点, 曲面及其方程 解 所求方程 是曲面上任一点, 例 的全体所组成的曲面方程. 曲面及其方程 研究空间曲面有 (1)已知曲面, (2)已知方程, 两个基本问题 (讨论旋转曲面) (讨论柱面, 二次曲面) 求方程; 研究图形. 曲面及其方程 二、旋转曲面 定义 绕其平面上的一条直线 这条定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称 称为旋转曲面. 旋转一周所成的曲面, 母线. 为方便, 平面取作坐标面, 旋转轴取 作坐标轴. 曲面及其方程 (surface of revolution) 常把曲线所在 以一条平面曲线 母线 轴 旋转过程中的特征： 如图 将 得方程 代入 曲面及其方程 P ) , , 0 ( 1 z 0 旋转曲面方程. 旋转一周的 即为 同理, 旋转曲面方程为 旋转一周的 绕z轴 绕y轴 曲面及其方程 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到 : 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可. 曲面及其方程 解 圆锥面方程 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为 圆锥面的顶点, 例 两直线的夹角 圆锥面的半顶角. 称为 试建立顶点在坐标原点O, 旋 半顶角为 的 圆锥面的方程. 转轴为z轴, 面上直线方程为 曲面及其方程 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 圆锥面方程 即 圆锥面方程 (用得较多) 绕y轴旋转所得曲面方程及图形. 即 曲面及其方程 面上直线方程为 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程. 旋转双曲面 例 双曲线 (1) 分别绕x轴和z轴; 绕x轴旋转 绕z轴旋转 曲面及其方程 旋转椭球面 旋转抛物面 (2) 绕y轴和z轴; (3) 绕z轴. 曲面及其方程 选择题 B 方程 (A) xOz平面上曲线 绕y轴旋转所得曲面; (B) xOz平面上直线 绕z轴旋转所得曲面； (C) yOz平面上直线 绕y轴旋转所得曲面；