高等数学B（林业大学）第三节 三重积分.PPTVIP

柱面坐标系中, 以z轴为中心轴的圆柱面； 过z轴的半平面. 与xOy平面平行的平面; 三坐标面分别为 三重积分 称点M的柱面坐标 柱面坐标系中的体积元素为 在柱面坐标系中, 如图, 得小柱体 即 直角坐标系下三重积分与 (红色部分). 若以三坐标面分割空间区域 柱(面)坐标系下三重 积分的关系是 三重积分 如何计算柱坐标系下三重积分 回想 直角坐标系下计算三重积分方法. 将三重积分化为 三次积分(累次积分) 三重积分 柱坐标系下三重积分的计算, 可得柱坐标系下三重积分化为三次积分 与x, y, z等同的看为三个变量. 如, 极坐标不等式表示 只要把被积 函数中的 的计算公式. 类比公式 先将Ω在xOy面上的投影域用 三重积分 从而 故 再确定Ω的下, 上边界面 注 通常是先积 再积 后积 三重积分 ) , ( ) , ( 2 1 q r q r z z z ￡ ￡ 如积分域Ω为圆柱域(如图). 则 三重积分 解 例 所围成. 积分域用柱坐标表示为 原式 其中Ω由半圆柱面 三重积分 解 对称性质 例 所围成的空间闭区域. 三重积分 同理 计算 三重积分 柱坐标 所以 对称性质 三重积分 计算 关于两个坐标面 当被积函数是 积分域Ω由圆柱面 (或一部分)、锥面、抛物面 用 所围成的. 柱面坐标 计算三重积分较方便. 三重积分 选择题 曲面 之内及曲面 之外所围成的立体的体积 D 三重积分 锥面 被圆柱面 所截,求锥面下方、 xOy面上方、圆柱内的区域V 的体积. 解 V=2V1, 提示 V1为第一卦限部分的体积. 三重积分 柱坐标 z d d d q r r 记投影向量与x轴正方向的 规定 正方向间的夹角为 夹角为 球面坐标. 称 为点M的 三重积分 3.利用球面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点, 向xOy平面投影, , q 球面坐标系中的三坐标面分别为 原点为心的球面； 过z轴的半平面． 球面坐标与直角坐标的关系为 原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； 三重积分 球面坐标系中的体积元素为 若以三坐标面分割空 得小六面体 (红色部分). 于是, 在球面坐标系中， 间区域 三重积分 通常是 注 三重积分 q j j d d d sin 2 r r 如积分域Ω为球域(如图). 则 三重积分 ) 解 法一 采用 例 所围的立体. 球面坐标 三重积分 三重积分 q j j d d d sin d 2 r r v = 法二 采用 柱面坐标 三重积分 解 积分域关于xOy坐标面对称， 被积函数是z的奇函数. 例 利用对称性简化计算 其中积分区域 三重积分 球 或 积分区域 三重积分 ) 0 d cos sin ( 0 = ò p j j j Q 三重积分的概念 三重积分的计算 (triple integral) 第三节　三重积分 是空间有界闭区域Ω上的 如当各小闭区域直径中的最大值 在每个 1. 三重积分的定义 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域 其中 并作和 作乘积 ① ② ③ ④ 有界函数. 也表示它的体积. 表示第i个小闭区域, 上任取一点 三重积分 一、三重积分的概念 (define) 记为 函数 趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为 在闭区域Ω上的三重积分. 　 即 体积元素 三重积分 3. 三重积分的几何意义 设被积函数 连续函数一定可积 2. 三重积分存在性 则区域V 的体积为 在Ω上是可积的. 的三重积分存在性时, 三重积分 (existence) 4. 三重积分的性质 与二重积分的性质类似. 补充三重积分 对称性质 则称f关于变量z的奇 函数. (1) 关于 坐标面的上半部区域. (偶) 三重积分 (property) 或 而得结果为零. 例 0 则 三重积分 (2) 关于两个坐标面 在第一,五卦限部分的区域. 三重积分 为 f 的奇函数 y x 或 例 0 在一,五卦限部分的区域, 则 1988年研究生考题,选择,3分 C 则( )成立. 三重积分 , 0 , 0 , 0 , 2 2 2 2 2 3 3 3 ￡ + + z y x R z y x ： W 关于三个坐标面都对称, 在第一卦限部分的区域. (3) 三重积分 的奇函数 z y x 或 或 例 0 在第一 卦限的部分, 则 (4) 关于原点对称, 三重积分 关于原点对称的一半区域. 中 为 其中 W W 4 W 若 二、三重积分的计算 1. 在直角坐标系下计算三重积分 故直角坐标系下的体积元素为 在直角坐标系下三重积分可表为 在直角坐标系中, 如果用平行