高等数学B（林业大学）第四节 重积分的应用.PPTVIP

重积分在几何上的应用 第四节 重积分的应用 一、重积分在几何上的应用 1. 平面区域的面积 设有平面区域D, 2. 体积 设曲面方程为 则D上的曲顶柱体体积为: 则其面积为: 重积分的应用 把定积分的元素法推广到重积分的应用中. 占有空间有界域?的立体的体积为: (1) 设曲面S的方程为： 如图, 3. 曲面的面积 设小区域 则有 母线平行于z轴的小柱面, 在xOy面上的投影区域为D, 重积分的应用 曲面S的面积元素 曲面S的面积公式 重积分的应用 ) 1 , , ( y x f f n - - = r n r (3) 设曲面的方程为 曲面面积公式 曲面面积公式 (2) 设曲面的方程为 曲面面积公式 (1) 设曲面S的方程为 重积分的应用 解 求球面 含在圆柱体 内部的那部分面积. 例 由对称性知 第一挂限图形 曲面方程 D1 重积分的应用 于是, 曲面面积元素为 D1 极坐标 重积分的应用 q r cos a = 例 因曲面方程为 所以, o x z y D 解 截下的有限曲面片的面积. 被柱面 求曲面 a 重积分的应用 例 所截的部分的面积. 作出图形在第一卦限的 A1: 则 解 部分 被圆柱面 计算圆柱面 (如图). a 重积分的应用 在第一挂限部分面积为 整个面积 a 重积分的应用 y x a x a x a a d 1 d 2 2 0 2 2 0 ò ò - - = (0,0,2a) 解 解方程组 得两曲面的交线为圆周 平面上的投影域 求由曲面 所围立体的表面积. o x y z 重积分的应用 求由曲面 所围立体的表面积. 重积分的应用 1989年研究生考题,计算,9分 例 解 由于球为中心对称图形, 解得 问:R取何值, 重积分的应用 设半径为R的球面Σ的球心在定球面 球面Σ 在定球面内部的那部分面积最大? 不妨设球面Σ 的方程为: 因为是求球面Σ 在定球面内部 的面积, 故由方程 2 2 2 y x R a z - - - = 面积元素是 又由 令 重积分的应用 即得出球面Σ 在定球面内部的 那部分在xOy面上的投影区域 2 2 2 y x R a z - - - = 所以 极坐标 所以, 重积分的应用 球面Σ 在定球面内部的面积设为A,则 几何应用 平面的面积 三、小结 重积分的应用 曲面的面积 体积 作业 习题10-4 (175页) 1. 3. 重积分的应用 * *