高等数学B（林业大学）第五节 隐函数求导公式.PPTVIP

* 解方程组得 移项得： 隐函数的求导公式 * 原方程组两边分别对 解方程组得 y求偏导数： 隐函数的求导公式 * 求 例 解 对 x求偏导： 隐函数的求导公式 = 1 q cos x r ? ? · r - q sin · x ? ? · q 解方程组得 法一 * 对 y求偏导, 同理， 自己练. 隐函数的求导公式 * 法二 用全微分形式不变性 求 隐函数的求导公式 y x d sin d cos q q + = q d y r x r d cos d sin q q + = * 1995年研究生考题,计算,5分 解 得 得 隐函数的求导公式 两边求全微分, 两边求全微分, . d d , 0 , x u z f 求 均一阶连续可导且 其中 1 ? ? j j ) , , ( z y x f u = 将 x x e x z y d cos 2 d 3 2 1 j j j + - = T * 1999年研究生考题,计算,5分 解 隐函数的求导公式 一阶连续导数和一阶连续偏导数, 分别将 的两端对 x求导,得 0 ) , , ( = z y x F 和 * 隐函数的求导公式 2002年考研数学(四),7分 有连续偏导数,且 解 则 用公式 故 而 所以 * 2002年考研数学(四),7分 有连续偏导数,且 解 用全微分 两边微分,得 故 故 * (以下三种情况) 隐函数的求导法则 隐函数的求导公式 三、小结 * 思考题 分析 方程组中含有五个变量, 由题意看出 是因变量, 是自变量, y究竟是因变量, 还是自变量? 在这种所求偏导是一阶, 而又有 一变量的属性不太明确的情况下, 形式不变性来处理比较简便. 用全微分 隐函数的求导公式 * 解答 的两边求全微分,得 隐函数的求导公式 * 自修作业 习题9-5 (89页) 1. 3. 4. 6. 7. 10.(2)(3)(4) 重点：会利用全微分解题 隐函数的求导公式 * 一个方程的情形 方程组的情形 ( implicit function ) 第五节 隐函数的求导公式 * 隐函数在实际问题中是常见的. 平面曲线方程 空间曲面方程 空间曲线方程 下面讨论如何由隐函数方程 如 求偏导数. 隐函数的求导公式 * 一、一个方程的情形 在一元函数微分学中, 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 的求导法. 并指出: 曾介绍过隐函数 的求导公式, 隐函数存在的一个充分条件. 隐函数的求导公式 * 隐函数存在定理1 隐函数的求导公式 设二元函数 的某一邻域内满足: 在点 则方程 的某一邻域内 并有 (1) 具有连续偏导数; 它满足条件 在点 隐函数的求导公式 (2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 两边关于x求导, 由全导数公式,得 * 或简写: 于是得 隐函数的求导公式 所以存在 的一个邻域, 在这个邻域内 * 如, 方程 记 (1) 的邻域内连续; 所以方程在点 附近确定一个有连续导数、 且 隐函数的求导公式 隐函数存在定理1 的隐函数 则 (2) (3) * 解 令 则 隐函数的求导公式 例 * 则方程 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的 并有 具有连续偏导数; 若三元函数 的某邻域内 函数 它满足条件 在点 在点 2. 由三元方程 确定二元隐函数 隐函数存在定理2 隐函数的求导公式 的某一邻域 (1) (2) (3) 满足: * 隐函数的求导公式 (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 两边分别关于x和y求导, 应用复合函数求导法得 是方程 所确定的隐 设 函数,则 所以存在 的一个邻域, 在这个邻域内 因为 连续, 于是得 * 例 解 则 令 隐函数的求导公式 * 将 注 再一次对y求偏导数,得 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意: 导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时, 仍需用复合函数求导的方法. 隐函数的求导公式 y z ? ? * 分析 在某函数(或方程)表达式中, 自变量互换后, 仍是原来的函数 (或方程), 称函数 (或方程) 用对称性可简化计算. 解 将方程两边对x 求偏导, 得 关于自变量对称, 将任意两个 隐函数的求导公式 * 再将上式两边对x求偏导, 得 由x, y的对称性知, 隐函数的求导公式 * 例 设有隐函数 ,其中F的偏导数连续, 求 解 令 用复合函数求导法 法一 由公式. 隐函数的求导公式 * 将隐函数方程两边取全微分, 即 故 从而 此法步骤清楚 法二 利用全微分. 求 得 隐函数的