高等数学B（林业大学）第一节 多元函数的基本概念.PPTVIP

* 的不连续点, 若函数 在点 P0(x0, y0)不连续, 称P0为函数 间断点. 若在D内某些孤立点, 没有定义, 或沿D内某些曲线, 但在D内其余部分, 都有定义, 则在这些孤立点或这些曲线 上, 即间断点. 函数 都是函数 则 * 在单位圆 处处是间断点. 函数 (0,0)点是该函数的间断点. 函数 * 称为多元初等函数, 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的. 同一元函数一样, 多元函数的和、差、 每个自变量的基本初等函数经有限次四则 运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数 处均连续. 在它们的定义域的内点 * 想一想 如何证明 f( x, y)在 证 xOy面上处处连续? 是初等函数， 处处连续. * 又 于是 即证明了f(x, y)在 由于 xOy面上处处连续. 证明 f( x, y)在 xOy面上处处连续? * 有界闭区域上连续的多元函数的性质 至少取得它的最大值和最小值各一次． 介于这两值之间的任何值至少一次． (1) 最大值和最小值定理 (2) 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数, 在D上 在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果 在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得 * 多元函数的极限的基本问题有三类 (1) 研究二元函数极限的存在性. 常研究 若其依赖于k, 则 欲证明极限存在, * 特别对于 * 不存在. 常用定义或夹逼定理. 欲证明极限不存在 (通过观察、猜测), 常选择两条不同路径, 求出不同的极限值. (2) 求极限值. 常按一元函数极限的求法求之. (3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关系. (罗必达法则除外) * 例 求极限 解 其中 * 例 求极限 解 将分母有理化,得 * 提示 解 是否把极限 理解为: 先求 的极限, 再求 的极限; 或者 先求 的极限, 再求 的极限 研究 二次极限 有 有 * (2) 同理: (3)再来分析当点(x, y)沿过原点的直线 因此 不存在. 对任意的 有 趋向于 有 时, * 可证明当 f( x, y)在P0(x0, y0)的一个邻域上 第二, 一般也是不相同的; 第三, 由此看出: 第一, 不能理解为 连续时, 上述三个极限均相等. 或 * 求 答: 0 答:不存在. 答:不存在. 二次极限都不存在时,但二重极限也可能 注 存在. 二次极限与二重极限有本质的区别. * 五、小结 多元函数的极限 多元函数连续性 有界闭区域上连续多元函数的性质 (与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异) 多元函数的概念 预备知识 (内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域) * 思考题 (是非题) 必定不存在. 是 因为对不同的k值, 不同, 不存在. * 自修作业 习题9-1(62页) 2. 4. 5.(1) (5) (6) 6.(1) (2) (4) 8. 本节概念较多，要认真读书。 * 第九章 多元函数微分法 及其应用 * 第一节 多元函数的基本概念 预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 function of many variables * 一、预备知识 1. 平面点集、n 维空间 一元函数 平面点集 实数组(x, y)的全体, 即 建立了坐标系的平面称为坐标面. 坐标面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为 平面点集, 记作 二元有序 (1) 平面点集 * 邻域 (Neighborhood) 设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 几何表示： O x y . P0 令 有时简记为 称之为 ① 将邻域去掉中心, ② 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界) 注 称之为 的全体点称之为点P0邻域. 去心邻域. * (1) 内点 显然, E的内点属于E. (2) 外点 如果存在点P的某个邻域 则称P为E的 外点. (3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 称P为E的边界点. 任意一点 与任意一点集 之间 必有以下三种关系中的一种: 设E为一平面点集, 若存在 称P为E的 内点. E的边界点的全体称为E的 边界, 记作 使U(P) ∩ E = ?, * 聚点 如果对于任意给定的 点P的去心邻域 内总有E中的点 则称P是E的 聚点. 例如, 设点集 (P本身可属于E,也可不 属于E ), 则P为E的内点; 则P为E的边界点, 也是E的聚点. E的边界 为集合 * 开集 若E的任意一点都是内点, 例 称E为开集. E1为开集. 闭集 若E的边界