高等数学B（林业大学）第一节 二重积分的概念与性质.PPTVIP

* 性质6(二重积分中值定理) 体积等于 显然 几何意义 证 D上连续, σ为D的面积, 则在D上至少存在一点 使得 则曲顶柱体 以D为底 为高的平顶柱体体积. 将性质5中不等式各除以 二重积分的概念与性质 有 * 的最大值M与最小值m之间的. 由闭区域上连续函数的介值定理. 两端各乘以 点的值 证毕. 即是说, 确定的数值 是介于函数 在D上至少存在一点 使得函数在该 与这个确定的数值相等,即 二重积分的概念与性质 * 选择题 (A) (B) (C) (D) 提示: B 是有界闭区域D: 上的 连续函数, 不存在. 利用积分中值定理. 二重积分的概念与性质 * 利用积分中值定理, 解 即得: 由函数的连续性知, 显然, 其中点 是圆域 内的一点. 二重积分的概念与性质 * 补充 在分析问题和算题时常用的 设区域D关于x轴对称, 如果函数 f(x, y)关于坐标y为偶函数. o x y D1 性质7 则 D1为D在第 一象 限中的部分, 对称性质 二重积分的概念与性质 * 坐标y为奇函数 则 设区域D关于x轴对称, 如果函数 f (x, y)关于 o x y D1 * 设f(x, y)关于y为偶函数, D1 o x y 证 则 ? ? 得 二重积分的概念与性质 轴的 分为许多对称于 将域 x D 内取一 中的子域 在 i D s D 1 , 子域 轴的子域 与其对称于 点 x y x i i ) , ( , i s D 也记成 ). , ( i i y x - 取一点 * 坐标y为奇函数 自证! 则 设区域D关于x轴对称, 如果函数 f(x,y)关于 二重积分的概念与性质 * 这个性质的几何意义如图: O x y z O x y z 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为偶函数 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为奇函数 二重积分的概念与性质 * 如果函数 f(x,y)关于坐标x为奇函数 o x y D1 如果函数 f(x,y)关于坐标x 则 为偶函数 则 类似地, 设区域D关于y轴对称, 且D1为D在 第一象限中的部分, * 设D为圆域(如图) 0 0 D1为上半圆域 D2为右半圆域 二重积分的概念与性质 * 解 由性质得 例 二重积分的概念与性质 } 1 1 , 1 1 ) , {( ￡ ￡ - ￡ ￡ - = y x y x D 其中 * 为顶点的三角形区域, (A) (B) (C) (D) 0. A 1991年研究生考题, 选择,3分 D1是D在第一象限的部分, 二重积分的概念与性质 * D1 D2 D3 D4 记 I= 则I= I1+ I2, 其中 I1= I2= 而 I1 = D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称 xy关于x和关于y都是奇函数 二重积分的概念与性质 * 而 I2 = 是关于x的偶函数, 关于y的奇函数. 所以 二重积分的概念与性质 D1 D2 D3 D4 * 今后在计算重积分利用对称性简化计算时, 注意 被积函数的奇偶性. 积分区域的对称性, 要特别注意考虑两方面: 二重积分的概念与性质 * 思考 当f为关于x且关于y的偶函数时： 当f为关于x或关于y的奇函数时： 0 4 Di是区域D位于第i(i=1,2,3,4)象限的区域 设区域 关于x轴、y轴均对称, 函数 f(x, y)在D上可积，则 * 若D为 此式的几何意义是:中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的4倍. 0 D1为 x≥0, y ≥0, 则 * 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 (曲顶柱体的体积) (四步:分割、取近似、求和、取极限) 二重积分的概念与性质 四、小结 (注意对称性质的用法) * 思考题1 将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处. 二重积分的概念与性质 被积函数为定义在平面区域上 思考题解答 相同点 定积分与二重积分都表示某个和式的 极限值, 且此值只与被积函数及积分区域有关. 不同点 定积分的积分区域为区间, 被积函数为 定义在区间上的一元函数, 而二重积分的积分 区域为平面区域, 的二元函数. * 二重积分的概念与性质 思考题2 二重积分 的几何意义是以 为曲顶, D为底的曲顶柱体体积. (是非题) 非. * 自修作业 习题10-1 (136页) 4.(1) (3) (4) 5.(1) (3) 二重积分的概念与性质 * * 第十章 重 积 分 * 重积分是定积分的推广和发展.其同定