第4章_矩阵的分解 2 矩阵分析简明教程 曾祥金 张亮.ppt

第4章、 矩阵的分解;矩阵分解的概述;常见的矩阵标准形与分解;4.1 LU分解(图灵Turing, 1948);4.2 QR分解;实施步骤;4.2 QR分解;4.2 QR分解;4.3 满秩分解;满秩分解的实现：向量组最大无关组的求法 ;总结：矩阵的满秩分解的做法 对A?Cm?n 做行初等变换得行最简形H，取H的前r行所成矩阵为C，取A的列向量组的最大无关组所成矩阵为B，则 B ?Cm?r，C?Cr?n ，其秩序均为r，且A=BC。 ;4.4 奇异值分解(Singular Value Decomposition);一、矩阵A的奇异值及其性质;二、矩阵的奇异值分解;例 求矩阵A的奇异值分解，A= 。 ;2、矩阵U，V的空间性质： V=[v 1，v2，?，vr ，? ，v n] =[V1 V2]?C n×n的列向量是空间C n的标准正交基。 V2的列向量是空间N（A）的标准正交基。 V1的列向量是空间 N ? （A） 的标准正交基。 U=[u 1，u2，?，ur ，? ，u m] =[U1 U2]?C m×m的列向量是空间C m的标准正交基。 U1 的列向??是R（A）的标准正交基。 U2的列向量是R ? （A）的标准正交基。 ;例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解 ;压缩数字化图形存储量的方法主要是应用矩阵的奇异值分解和矩阵范数下的逼近。如果图象的数字矩阵A的奇异值分解为：A=U?VT， 其展开式： ;存储矩阵Ak只需要存储k个奇异值，k个m维向量ui和n维向量vj的所有分量，共计k（m+n+1）个元素。 如果m=n=1000，存储原矩阵A需要存储1000×1000个元素。取k=100时，图象已经非常清晰了，这时的存储量是100（2000+1）=200100个数。 和矩阵A比较，存储量减少了80%。;4.5 Moore-Penrose（M-P）广义逆;3、M-P广义逆的存在性及其求法 Theorem 任何矩阵都有M-P广义逆。 求法： 设A满秩分解A=BC，则 奇异值分解可以用于求广义逆(Theorem 4.5.3,P105)设A奇异值分解 ：;例 设 ， 求A+。;3、M-P广义逆的性质 Theorem 4.5.2 (P103) ： （ A + ）+=A （A + ） H =（A H ）+ （?A）= ?+A+ A列满秩，则A+=（ A H A ） –1A H ，A行满秩，则A+=AH （AAH） –1。 A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。