积分变换课件-刘清-1 - Fourier积分与Fourier变换.pdfVIP

积分变换 主讲教师：刘 清 手 机：135-6038-8976 E-mail： fdliuqing@ 为什么学积分变换？ 频域方法在工程学上有着重要应用 为什么学积分变换？ 频域方法在工程学上有着重要应用 例：考虑余弦函数 f(t)=Acoswt 要确定f，只需确定振幅A和频率w。 为什么学积分变换？ 频域方法在工程学上有着重要应用 例：考虑余弦函数 f(t)=Acoswt 要确定f，只需确定振幅A和频率w。 为什么选择余弦函数？ 控制系统的输入，如交流电等 复杂周期函数为余弦和正弦叠加 定理：设函数f 以2l 为周期，在区间[-l ，l] 上满足Dirichlet条件 连续或至多有有限个第一类间断点； 至多有有限个极值点。 则f 在(-l ，l)上的连续点可展成Fourier 级数 ∞ a nπt nπt f t 0 a b ( ) =+ ( cos + sin ) ∑ n n 2 n 1 l l 该定理是微积分中熟知的结果：f 为正弦 π 和余弦函数的叠加，此时基本频率ω0 l 欲确定f ，只需确定振幅a ，a ，b ，… 0 1 1 问题：对于一般的非周期函数， 是否有类似的结论？ 该如何处理？ 想法： 将函数f在[-l，l]上截取，延拓为2l周 期的函数g g在[-l，l]满足定理条件，展成级数 令lö∞，可刻画f的全貌 想法： 将函数f在[-l，l]上截取，延拓为2l周 期的函数g g在[-l，l]满足定理条件，展成级数 令lö∞，可刻画f的全貌 ☺ lö∞时， π 因此，函数频 ω =→0。 0 l 率应该包含所有正实数。 证明中的重点： 将系数代入，f 绝对可积，常数项趋 于0，只需考虑如下求和部分 ∞ 1 l ( ) lim ( )cos ( ) f t ∑ f s nω t =−s ds l →∞ l ∫−l 0 n 1 ∞ ω l lim 0 ( )cos ( )