积分变换课件-刘清-1 - Fourier积分与Fourier变换12.pdfVIP

积分变换 主讲教师：刘 清 手 机：150-1840-0122 E-mail ： fdliuqing@ 为什么学积分变换？ 频域方法在工程学上有着重要应用 为什么学积分变换？ 频域方法在工程学上有着重要应用 例：考虑余弦函数 f(t) = Acost 要确定f，只需确定振幅A 和频率。 为什么学积分变换？ 频域方法在工程学上有着重要应用 例：考虑余弦函数 f(t) = Acost 要确定f，只需确定振幅A 和频率。 为什么选择余弦函数？  控制系统的输入，如交流电等  复杂周期函数为余弦和正弦叠加 定理：设函数f 以2l 为周期，在区间[-l，l] 上满足Dirichlet条件  连续或至多有有限个第一类间断点；  至多有有限个极值点。 则f 在(-l，l)上的连续点可展成Fourier 级数  a nt nt f (t ) 0 (a n cos b n sin ) 2 n 1 l l 该定理是微积分中熟知的结果：f 为正弦  和余弦函数的叠加，此时基本频率0 l 欲确定f，只需确定振幅a ，a ，b ，… 0 1 1 问题：对于一般的非周期函数，  是否有类似的结论？  该如何处理？ 想法：  将函数f 在[-l，l]上截取，延拓为2l周 期的函数g  g在[-l，l] 满足定理条件，展成级数  令l ∞，可刻画f 的全貌 想法：  将函数f 在[-l，l]上截取，延拓为2l周 期的函数g  g在[-l，l] 满足定理条件，展成级数  令l ∞，可刻画f 的全貌 ☺ l ∞时，  。因此，函数频   0 0 l 率应该包含所有正实数。 证明中的重点： 将系数代入，f 绝对可积，常数项趋 于0，只需考虑如下求和部分  1 l f (t ) lim  f (s )cosn  (t s )ds l  n 1 l l 0   l lim  0 f (s )cosn  (t s )ds l  n 1  l 0 证明中的重点： 将系数代入，f 绝对可积，常数项趋 于0，只需考虑如下求和部分  1 l