积分变换课件-刘清-5 - Laplace变换.pdfVIP

Laplace变换 首先，回顾Fourier 变换：  j t ˆ f ()  f (t )e dt 在这一积分中，需要保证积分的收敛性。 Fourier 积分定理中要求函数f 在实数轴上 绝对可积。 Laplace变换 首先，回顾Fourier 变换：  j t ˆ f ()  f (t )e dt t 例如：设f (t)=e ，则显然f 不满足绝对可 积这一条件。 问题：对这一类函数该如何处理？  一种方法是截断，即在正半轴取0 ☺ 局限在于：此时将原来函数在正半 轴的信息全部丢失了。  一种方法是截断，即在正半轴取0 ☺ 局限在于：此时将原来函数在正半 轴的信息全部丢失了。  另一种方法，将f 的图像下压，使 之满足可积性条件。 ☺ 乘上一个指数衰减函数，例如， -2t -t 令 g(t)=f(t)e =e ，则函数g 在正 半轴上可积。 Laplace变换 设f ：[0，)R，s= +j。若积分  F (s ) L[ f (t )] 0 f (t )est dt 存在，称之为f 的Laplace 变换。 Laplace变换 设f ：[0，)R，s= +j。若积分  F (s ) L[ f (t )] 0 f (t )est dt 存在，称之为f 的Laplace 变换。 若F (s)为f 的Laplace 变换，则有逆变换 1 1  j  st f (t ) L [F (s )] 2j  j  F (s )e ds Laplace 变换和Fourier变换的关系  Laplace 变换中，f 定义于[0，) ，  Fourier变换中，f 定义于(-，) Laplace 变换和Fourier变换的关系  Laplace 变换中，f 定义于[0，) ，  Fourier变换中，f 定义于(-，)  通过函数H(t) 联系起来  F (s ) L[ f (t )] 0 f (t )est dt  t  jt  f (