第一章 概率.ppt

经计算可得下述结果： 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 q 20 23 30 40 50 64 100 n 例4（抽签问题）箱中装有a个白球和b个黑球,现从中任意地取球,每次取一球,取后不放回,求第s (1≤s≤a+b)次取出的球是白球的概率. 解 设想把取出的球依次放在排列成一直线的a+b个位置上,因为a个白球的位置一经排定,则剩下的位置必然是放黑球的,而白球在a+b个位置中的一切可能放置方式,即总的基本事件数为 设A={第s次取出的是白球},把第s次取出的白球放在第s个位置上,则剩下的a-1个白球及b个黑球,可以任意地放在其它a+b-1个位置上,不同的放置方式有 种,这就是事件A包含的基本事件数k,故 人们常常会问抽签结果是否与抽签顺序有关.上例的结果表明,抽签结果是与抽签顺序无关的,所以以后在现实生活中需要抽签时,大家尽可以表现出君子风度,让人家先抽,这样做并不会失去任何机会,同时却又表现了礼让的美德. 第四节 条件概率、乘法公式与独立性 问题：一个家庭有两个孩子，已知其中有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ 分析：一个家庭有两个孩子的所有可能结果为： 如果设 ，则 包含有三种可能，表示为: 再令 ，则 只包含一种可 能性，即 一.条件概率 因此，应该有 符号 表示在事件A发生的条件下，事 件B发生的条件概率。 （1） 进一步的，我们可以将（1）式写成： 对于一般的等可能概型，如果 则应该有 下面我们给出条件概率的一般定义。 定义 设 是两个事件,且 ，则称 为事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率. 可以验证,条件概率仍然满足概率的三条公理。因此关于概率的性质，条件概率仍然满足。例如，下述公式均成立 ： 1、对于任意事件 ，均有 2、 3、若事件 两两不相容，则有 4、 5、 6、 二、乘法公式 由条件概率的定义，可直接得到下面的乘法公式 乘法公式 设 是两个事件,并且 则有 一般地,用归纳法可证:若 则有 例1 已知某厂家的一批产品共100件,其中有5件废品,但是采购员并不知道有几个废品.为慎重起见,他对产品进行不放回的抽样检查,如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品,则他拒绝购买这一批产品.求采购员拒绝购买这批产品的概率. 解 设 则有， 从而 从而，由概率的乘法公式，有 于是， 例2 袋中有一个白球及一个黑球,一次次地从袋中取球.如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止.求取了n次都没有取到黑球的概率. 解 设 则有 从而由乘法公式,有 三、独立性 事件的独立性是概率论中最重要的概念之一.那么什么是事件的独立性呢？ 所谓两个事件A与B相互独立,直观上说就是它们互不影响,说得更明确一点，就是事件A发生与否不会影响事件B发生的可能性, 事件B发生与否不会影响事件A发生的可能性,用数学式子来表示,就是 且 但是上面两式分别要求A与B的概率大于零，考虑到更一般的情形，给出如下定义. 定义 设A、B是两个事件，如果成立等式 则称事件A与事件B相互独立. 由定义知，概率为零的事件与任何事件独立.同样，概率为1的事件也与任何事件相互独立。 注意，事件之间相互独立与事件之间互不相容是两个完全不同的概念.事实上,由定义可以推知，如果两个具有正概率的事件是互不相容的,那么它们一定是不独立的,反之,如果两个具有正概率的事件是相互独立的,那么这两个事件不可能互不相容. 定理 若事件A与B相互独立，则 1）事件 相互独立. 2）事件 相互独立. 3）事件 相互独立. 证明 只证1），其余证明由同学们自己完成. 由 得 所以， 相互独立. 定义 设A,B,C为三个事件，如果如下四个等式 则称事件A,B,C相互独立. 定义中前面三个等式只说明这三个事件是两两相互独立的,但是由此并不能将第四个等式推导出来.事实上,当我们考虑多个事件之间是否相互独立时,除了必须考虑任意两事件之间的相互关系外,还要考虑到多个事件的乘积对其它事件的影响.基于如此的考虑,我们给出下面一般的定义. 定义 若n个事件 满足 则称 相互独立. 由定义知，要判定n个事件是否相互独立，需要验证 个等式，这是相当繁琐的工作.但是，在实际问题中,定义常常不是用来判断独立性的,而更多的是利用独立性来计算事件乘积的概率的.独立性更多的是根据实际意