第七章 数理方程.ppt

解：满足边界条件的本征函数为： 所以可假设问题的解具有如下傅里叶级数形式： 将上式代入定解问题的方程及初始条件。 比较方程两边的系数得到: §7.4 非齐次边界条件的处理 例8 一端固定(x=0)、另一端受周期性应力 作用的均匀细杆的纵振动问题。 解：不妨假设问题的解为 v(x,t)将满足齐次边界条件 例9 求解定解问题 解：设 若要使v(x,t)满足如下齐次的定解问题： 则w(x)必须满足条件： 求解以上定解问题很容易求出： 根据 v(x,t)定解问题中的初始条件，就可以确定待定系数 §7.5 有阻尼的波动问题 例10 两端固定弦的小阻尼振动问题 弦在振动过程中所受阻力一般正比于速率。 ( , 为常数) 类似于本章例1的推导可以得到： （阻尼因子） 解：采用分离变量法，设 因为 , 所以 假设 （小阻尼情形） 那么 衰减函数? e-t 例11 均匀传输线中的电压波动方程。 假设一段均匀传输线每单位长度的电阻、电感和电容分别为R0、L0和C0 。若传输线一端(x=0)绝缘，另一端(x=l)从t=0时刻开始施加稳恒电压E，求传输线中电压波动函数(忽略电漏)。 x x x+Δx u ( x , t ) u ( x+Δx , t ) R0Δx C0Δx L0Δx I( x , t ) I( x +Δx, t ) 零电势线 Δx→ 0 … … 绝缘端 I = 0，根据 得到 ，另一端 另外，初始条件为 解：首先将边界条件齐次化, 设 采用分离变量法求解，设 代入以上微分方程得到： 只讨论小阻尼情形，即 第七章 一维有限区间中的波动方程 §7.1 定解问题的建立 §7.2 分离变量法 §7.3 傅里叶级数展开法 §7.4 非齐次边界条件的处理 §7.5 有阻尼的波动问题 例1 两端固定弦的自由振动 §7.1 定解问题的建立 均匀细弦两端拉紧并固定，被拨动后开始振动。 第一步：由物理基本理论建立描述该现象的方程 假定弦振动属于微小横振动，即 ， 所以 ? “一维齐次波动方程” 1.边界条件： 弦两端固定不动，所以不管在什么时刻，u(x,t)在两端点(x=0和x=l)处取值为0，即： u(0,t)=0, u(l,t)=0 记为： 第二步：由已知条件确定满足的边界及初始条件 2.初始条件： 假如初始时刻弦各处的运动状态为已知，即已知 t=0 时刻弦上各点的位移和速度: 第三步：写出定解问题 例2 两端固定弦的受迫振动 T1 T2 例3 一端固定另一端受力的均匀细杆的纵振动。 问题给定了细杆一端固定另一端受应力F(t)。 在固定端(x=0)处位移为0，所以 u(0,t)=0。 在受力端(x=l)处应力为F(t)，那么 再假设初始条件为 那么完整的定解问题为: 小结: 定解问题: 描述物理现象的偏微分方程+定解条件; 微元法建立偏微分方程: 在系统中任选一微元,将有关的物理定律用于这一微元,建立它的运动方程.然后取趋向于无穷小的极限,保留最低阶小量,略去高阶小量,就可得到所需的偏微分方程; 定解条件: 边界条件+初始条件(+附加条件); 边界条件: [?Ux+?U]x=0 或 x=l = f(t) (f=0 齐次, f?0 非齐次) ??? ??? ? 第一类边界条件 ??? ?=? ? 第二类边界条件 ??? ??? ? 第三类边界条件 §7.2 分离变量法 例4 求解两端固定弦的自由振动问题 解：假设试解 根据问题的边值条件可得: 因为 , 所以 (i) λ0，那么通解为 根据问题的边界条件可得: 方程组只有零解,即 ，这样使 无法找到满足边界条件的非零解。 (ii) λ= 0，那么通解为X(x) = C1x + C2 , 根据边界条件，结果仍得到恒等于0的解。 根据问题的边界条件: 若要寻找非零解，必须 ，那么 (iii) λ 0，那么通解为 因此本征值为： 相应于每一本征值 有一本征函数 为: 其次，对每一个本征值 ，T(t)的方程为： 以上方程通解为： 因此，对应每个本征值，相