§3.2 均值不等式 教案(一).doc

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§3.2 均值不等式 教案(一)

§3.2 均值不等式 教案(一) 第1课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:学会推导并掌握均值不等式,理解这个均值不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程; 【教学难点】 均值不等式等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 均值不等式的几何背景: 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1.探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:。 当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有。 2.得到结论:一般的,如果 3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为 当 所以,,即 4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式 特别的,如果a0,b0,我们用分别代替a、b ,可得, 通常我们把上式写作: 2)从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明: 要证 (1) 只要证 a+b (2) 要证(2),只要证 a+b- 0 (3) 要证(3),只要证 ( - ) (4) 显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。 3)理解基本不等式的几何意义 在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗? 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB 即CD=. 这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立. 因此:均值不等式几何意义是“半径不小于半弦” 评述:1.如果把看作是正数a、b的等差中项,看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中,我们称为a、b的算术平均数,称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例1 已知x、y都是正数,求证: (1)≥2; (2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 分析:在运用定理:时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形. 解:∵x,y都是正数 ∴>0,>0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0 (1)=2即≥2. (2)x+y≥2>0 x2+y2≥2>0 x3+y3≥2>0 ∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3 即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数,求证 (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc 分析:对于此类题目,选择定理:(a>0,b>0)灵活变形,可求得结果. 解:∵a,b,c都是正数 ∴a+b≥2>0 b+c≥2>0 c+a≥2>0 ∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc. 4.课时小结 本节课,我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab;两正数a、b的算术平均数(),几何平均数()及它们的关系(≥).它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:ab≤,ab≤()2. 金太阳教育网 第 1 页 共 3 页 金太阳教育网

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