第九节 定积分的物理应用举例.ppt

第九节 定积分的物理应用举例 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力 四、小结 注 * 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力 四、小结 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为 W=F·s 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而要采用“微元法”的思想解决. 例1 把一个带 +q 电量的点电荷放在 x 轴上坐标原点 O 处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 O 为 r 的地方，那么电 场对它的作用力的大小为 ( k 是常数)， 当这个单位正电荷在电场中从 r=a 处沿 x 轴移动到r=b (ab) 处时，计算电场力 F 对它所作的功． 解 功元素 所求功为 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 点击图片任意处播放\暂停 解 建立坐标系如图 例2 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？ 这一薄层水的重力为 功元素为 (千焦)． 例2 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？ 如果把例中的蓄水池改为球形或锥形的情况 , 如何分析？ 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？ 设 次击入的总深度为 厘米 次锤击所作的总功为 依题意知，每次锤击所作的功相等． 次击入的总深度为 第 次击入的深度为 由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p= ?·g·h ,这里 ? 是水的密度．如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h 处，那么平板一侧所受的水静压力为 F = p·A= ?·g·h ·A ． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而要采用“微元法”的思想解决． 例1 某水库闸门为长 a 米、宽 b 米的矩形，垂直放在水中，水面超过门顶 c 米，求闸门一侧所受的水压力。 一般地可以解决： 例2 设平板由曲线 y=f(x) 与 x=a , x=b 及 x 轴围成，且垂直放置在水中，设 y 轴为水平面，求平板一侧所受的压力。 解 建立坐标系如图 面积微元 例3 　将直角边分别为 2a 及a 的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，较长的直角边与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力． 解 在端面建立坐标系如图 例4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为 R ，水的比重为 ? ，计算桶的一端面上所受的压力． 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算,而要采用“微元法”的思想解决． 解 建立坐标系如图 将典型小段近似看成质点 小段的质量为 例1 有一长度为 l 、线密度为 ? 的均匀细棒，在其 中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点 M ，计算该棒对质点 M 的引力． 小段与质点的距离为 引力 水平方向的分力元素 由对称性知，引力在铅直方向分力为 例 长为 l 线密度为 ? 的均匀细棒，在离端点 为 a 处有一质量为 m 的质点，求细棒对质点的 引力。 例 长为 l 质量为M 的均匀细棒，在离端点为 a 处有一质量为 m 的质点，求细棒对质点的引力。 　　利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题． （注意熟悉相关的物理知识） 　1. 从实际情况出发建立恰当的坐标系对于物理量的计算是至关重要的. 　1. 一个物理问题的提出通常并不附带坐标系,而建立物理量的积分表达式则离不开坐标系, 且在建立坐标系时,必需明确指明原点位置和坐标轴的正向. 　2. 计算时对同类量要采用统一的单位. * *