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第6课时 三角恒等变换
第3章 第6课时
(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!)
一、选择题
1.如果α且sin α=,那么sin+cos=( )
A. B.-
C. D.-
解析: sin α=,<α<π,cos α=-,而sin+cos=sin=cos α=-.
答案: D
2.已知A、B为直角三角形的两个锐角,则sin A·sin B( )
A.有最大值和最小值0B.有最小值,无最大值
C.既无最大值也无最小值D.有最大值,无最小值
解析: A+B=,B=-A,
sin Asin B=sin Asin
=sin Acos A=sin 2A.
0<A<,2A∈(0,π).
0<sin 2A≤1.
sin Asin B有最大值,无最小值.
答案: D
3.已知sin=,则cos的值等于( )
A. B.
C.- D.-
解析: 由已知π-2α=π-2,则cos=cos=-cos 2=2sin2-1
=2×2-1=-,故选C.
答案: C
4.定义运算=ad-bc,若cos α=,=,0<β<α<,则β等于( )
A. B.
C. D.
解析: 依题设得:sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.
0<β<α<,cos(α-β)=,
又cos α=,sin α=.
sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×=,
β=,故选D.
答案: D
5.设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是( )
A.sin(α+β)>sin α+sin βB.cos(α+β)>cos αcos β
C.sin(α+β)>sin(α-β)D.cos(α+β)>cos(α-β)
解析: sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
又α、β都是锐角,cos αsin β>0,
故sin(α+β)>sin(α-β).
答案: C
6.的值是( )
A. B.
C. D.
解析: 原式=
=
==.
答案: C
二、填空题
7.(2011·天津模拟)若锐角α、β满足(1+tan α)(1+tan β)=4,则α+β=________.
解析: 由(1+tan α)(1+tan β)=4,
可得=,即tan(α+β)=.
又α+β(0,π),α+β=.
答案:
8.设α是第二象限的角,tan α=-,且sin<cos,则cos=________.
解析: α是第二象限的角,
可能在第一或第三象限,
又sin<cos,为第三象限的角,
cos <0.tan α=-,
cos α=-,cos =-=-.
答案: -
9.=________.
解析: 原式=
=
=
===-4.
答案: -4
三、解答题
10.函数y=sin α+cos α-4sin αcos α+1,且=k,<α≤,把y表示成k的函数f(k).
解析: k==
==2sin αcos α,
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+k.
<α≤,sin α+cos α>0.sin α+cos α=.
y=-2k+1.
由于k=2sin αcos α=sin 2α,<α≤,
0≤k<1.f(k)=-2k+1(0≤k<1).
11.(2011·潍坊质检)如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q,已知点P的坐标为.
(1)求的值;
(2)若·=0,求sin(α+β)的值.【解析方法代码108001041】
解析: (1)由三角函数的定义得cos α=-,sin α=,
则原式===2cos2α
=2×2=.
(2)·=0,α-β=,β=α-,
sin β=sin=-cos α=,
cos β=cos=sin α=.
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
12.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元;该商品每件的售价为g(x)(x为月份),且满足g(x)=f(x-2)+2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式;
(2)问哪几个月能盈利?【解析方法代码108001042】
解析: (1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B,由题意可得A=2,B=6,ω=,φ=-,
所以f(x)=2sin+6(1≤x≤12,x为正整数),
g(x)=2sin+8(1≤x≤12,x为正整数).
(2)由g(x)f(x),得sinx.
2kπ+πx2kπ
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