趣味数学147：“数码与9的魔术”节选.doc

选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》 第八章　数码与9的魔术（节选） 　　数码9的奇异性质常被魔术家与术数家利用，是一些戏法的基础。如，有一个等式2A99561＝[3×(523＋A)]2，要求在60秒内求出数码A。乍一看似乎根本不可能，可是，如果发现等式右边含有因数32＝9，根据“弃九法”，等式左边应该能被9整除。除A以外，2A99561其余数码之和是2＋9＋9＋5＋6＋1＝32，32－3×9＝5，也可以3＋2＝5，所以，A＝4，也就立即可以算出了。 所谓“弃九法”，就是说，求一个数的数字和时，如果超过9，可以弃去9或9的倍数，直到小于9为止，也可以反复求数字和，结果相同。而一个数除以9的余数，与这个数用弃九法得到的数字和相同。 用弃九法，可以检验四则运算是否正确。 如，4671＋2198＋7422＋5611＋1105＝21007。 这些加数的弃九数字和是： 4＋6＋7＋1＝18，18－2×9＝0，或者1＋8＝9,9－9＝0； 2＋1＋9＋8＝20，20－2×9＝2，或者2＋0＝2； 7＋4＋2＋2＝15，15－9＝6，或者1＋5＝6； 5＋6＋1＋1＝13，13－9＝4，或者1＋3＝4； 1＋1＋0＋5＝7。 这些加数的弃九数字和相加，得0＋2＋6＋4＋7＝19，19－18＝1；而21007的弃九数字和是2＋1＋0＋0＋7＝10，10－9＝1，二者相等，说明计算正确。 再如，5327×649＝3457223。 两个因数的弃九数字和分别是：5＋3＋2＋7＝17，1＋7＝8；6＋4＋9＝19，19－18＝1。两个因数弃九后的数字和相乘，得8×1＝8；而3457223的弃九数字和是3＋4＋5＋7＋2＋2＋3＝26，2＋6＝8，二者相等，说明计算正确。 有一种类似的戏法： “随便你写出一个很大的数，从中抹掉一个数码，我再填入一个数字，就能使这个大数能被9整除。” 例如：所写的数2789，因为已知数码的弃九数字和是5＋3＋2＋1＋9＋6＋4＋5＋2＋7＋8＋9＝61，6＋1＝7，于是，填入的数码应该是9－7＝2。 *　 　*　　 * 下面是一个数字宝塔： 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 123456×9＋7＝1111111 1234567×9＋812345678×9＋9＝111111111 123456789×9＋10＝1111111111 如果把等式左边的一般项（第n项）写作 　　(10n－1＋2×10n－2＋3×10n－3＋…＋n)×(10－1)＋(n＋1)。 上述现象的秘密就显而易见了。因为，在把括号乘出并化简后，即得： 　　　(10n－1＋2×10n－2＋3×10n－3＋…＋n)×(10－1)＋(n＋1) ＝(10n－1＋2×10n－2＋3×10n－3＋…＋n)×10－(10n－1＋2×10n－2＋3×10n－3＋…＋n)＋(n＋1) ＝10n＋2×10n－1＋3×10n－2＋…＋10n－10n－1－2×10n－2－3×10n－3－…－n)＋(n＋1) ＝10n＋10n－1＋10n－2＋…＋10n＋1 用普通的写法，就是1重复出现(n＋1)次。 下面是另外一些神奇的数字宝塔： 9×9＋7＝88 99×9＋6＝888 999×9＋5＝8888 9999×9＋4＝88888 99999×9＋3＝888888 999999×9＋2＝8888888 9999999×9＋199999999×9＋0＝888888888 1×8＋1＝9 12×8＋2＝98 123×8＋3＝987 1234×8＋4＝9876 12345×8＋5＝98765 123456×8＋6＝987654 1234567×8＋7＝98765438＋8123456789×8＋9＝987654321 1×1＝1 11×11＝121 111×111＝12321 1111×1111＝1234321 11111×11111＝123454321 111111×111111＝12345654321 1111111×1111111＝123456765432111111111＝123456787654321 111111111×111111111＝12345678987654321 7×7＝49 67×67＝4489 667×667＝444889 6667×666766667×66667＝4444488889 666667×666667＝444444888889 6666667×6666667＝44444448888889 …… 4×