第二章+实验几何(初中).ppt

初等几何与几何教学研究之 云南师范大学 实验几何就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感受和体验，归纳、概括出较为一般的几何关系，在实践中对其加以验证和检验，并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段。 ——题 记 提 纲 一、概 说 二、点、直线与平面的相互关系 三、方向、角度与平行 四、恒等、叠合与对称 五、小结 六、几点说明 数学教学是数学思维的教学。数学思维是一种创造性的思维活动，知识是其外在化的结果，数学观念、数学精神、数学素养、数学方法等则是结晶。 实验几何揭示了数学思维与数学知识的产生、数学观念、精神、素养、方法形成的规律和关系。 实验几何的中心课题是：确定空间的基本概念、把握空间的基本性质。 实验几何学研究的一般程序是： 实验几何在研究过程中强调：过程、体验、累积得到的经验。 论证几何学的研究程序则是： 1.位置与路径 问题：几何学是研究“空间”的科学，而空间中最原始、最基本的概念是“位置”。空间看作由所有可能的位置所组成的总体。 （2）连接P、Q两点的路径有许多，哪一条最短？ 实验：借助光学实验 ： 由光学实验：光在均匀介质中走直线；光走最省时间的路，所以，连接P、Q两点最短的路径是直线段 推广： （1）由P出发的光线可向点Q无限延伸，点Q出发的光线可以向点P无限延伸，因此，两点确定唯一的直线PQ。 （2）相交两直线定一点。 反证：若 结论： （1）“位置”与“路径”是空间中最原始、最基本的概念，在几何学的讨论中，点是位置的抽象化、线是路径的抽象化。 【生活概念：位置、路径抽象成科学概念：点、直线（或曲线）】 （3）直线可以向两端无限延伸——基本规律 （4）相异两点定直线，相交两直线定一点 ——基本性质。 应用：上述结论成为几何学中不定义概念和公理。 课 例 北师大版《数学》七年级上册第一章“丰富的图形世界” 课题：第 1单元“生活中的立体图形”第2课时 有些教师看不懂教材在这里放这幅情境图的用意是什么？其实，教材编写的意图就是通过对立交桥中的物体进行抽象得到“位置”，再抽象成“点” ，这些点分为定点和动点；动点运动的路径抽象成“线段”(直的或曲的)。 在第8页的“想一想”中，又出现了3副情境图：分别是风筝、汽车雨刷和圆锥。这三幅情境图说明点动成线、线动成面(平的或曲的)、面动成体。丰富的图形世界就是由“点”、“线”、“面”、“体”这四种元素组成。 在教材的第一单元第1课时中，教材以“几何之旅”为题，给出了情境图（赛车、建筑物、地球等），再以“议一议”的方式，让学生从生活中的物体（窗、书桌、书柜、铅笔盒、笔筒、书籍、魔方、足球等）再次抽象几何体：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球。之后，教材再以牛奶盒、螺丝钉为情境，说明几何体可以由两个以上的几何体组成，最后介绍直棱柱和斜棱柱。 在习题1.1中，首先通过“数学理解”，让学生对构成几何体的面进行分类：正方体、长方体、球、圆柱、圆锥、四棱柱、三棱柱。之后是从生活中的立体图形抽象几何体，再通过“联系拓广”指明：图形由点、线、面构成，其中特别指明面有平的和曲的；面与面相交得线、线与线相交得点。 以上这些内容，既是对小学“图形的认识”的复习，也是对中学阶段学习几何的导课。这就是一个教学的“先行组织者”。 2.长度和度量 问题：直线段 的长度叫做P、Q两点间的距离，长度是最基本的度量性质，如何理解长度？ （2）设单位长度恰好可以分为n段，被测线段b恰好等于其中一段，则的长度为 结论： （1）一个量的量数是该量对单位量的比。 （2）同类二量对同一单位的量数之比，称为二量的比。 （3）若量数是有理数，则称a可公度，若量数是无理数，则称a不可公度。 一般，一个正五边形的边长与对角线之比不可公度；正方形的边长和对角线的之比也不可公度。 应用：数轴 3.直线和平面 平面：直观地说，平面是一个“处处平直”的面，其中“平直性”的检验方法是：拿一根直尺所要检查的平面上各处比较，看看是否总可以密合。 将上述方法加以抽象，可得： （1）平面的特性：平面处处平直且可以向四方无限延伸，其特性是：对于平面上两个相异点P、Q，直线PQ完全包含在这个平面内。 （2）不共线三点确定一个平面。 （2）不共线三点确定一个平面。 设A、B、C是空间中不共线的三点，连接AB、BC、CA得三条相异直线。 再设P∈AB、Q∈BC、R∈CA，连接PC、QA、RB.让点P、Q、R分别在直线AB、BC、CA上移动，则上述三直线分别绕点C、A、B转动。 从而编织出一个包含A、B、C三点的平面（因为满足“密合”） 反之，设包含A、B、C三点的平面是π