第五章 弹性力学解题方法问题.ppt

半逆解法 对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。 弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解 法的理论依据。 逆解法和半逆解法其求解过程带有“试算”的性质； 偏微分方程边值问题求解困难，难以确定弹 性力学问题的解析解； 解：用半逆解法。 设 除外所有应力分量为零，即 M 求应力分量 逆解法例题 o x z h h o z y h b b 代入应力协调方程中 有 则有 展开 积分上式的第一式 将上式代入 中得 在将 代入 中得 所以有 式中 由边界条件确定。 代入上式 有 边界条件2： 有 边界条件3： 有 边界条件1： h o z y h b b h o z y h b b 由广义胡克定律 有 即 位移法 其位移边界条件为： 给定位移边界条件就可由Leme方程解出 。 复习:位移法 位移分量求解后，可通过几何方程求出应变 和通过本构方程求出应力 。 位移解法以位移为3个基本未知函数（u1,u2,u3），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3个平衡微分方程，即三个拉梅方程。 位移解法适用于位移边界条件。 对于位移法体力为常量时： 由位移法得到：体积应力 和体积应变 均满足 调和（Laplace)方程； 即 体积应力函数和体积应变函数为调和函数。 位移分量,应力分量和应变分量均满足双调和方程； 位移分量,应力分量和应变分量为双调和函数。 解：由几何方程求应变分量 已知 ,求应力 位移法例题 2l x y p p h h 1 y z 由 2l x y p p 力边界条件 y =+ h : v = 0 _ 位移边界条件 应力应满足边界条件 2l x y p p y =+ h y =- h 应力解法基本步骤： 以应力分量 σij 作为基本未知量； 用六个应力分量表示协调方程； 关键点：以应力表示的协调方程 应力解法的方程 1. 平衡微分方程 2. 变形协调方程 3. 本构方程 4. 面力边界条件 由应力表示的本构方程代入协调方程 （1）整理上面的方程，把其中 l 的指标取为 k， （2）把 k=1,2,3的叠加起来，运用 即 合并有 上式对指标 i 和 j 对称所以只含有六个独立方程，利用平衡方程 有 同理 改写 成 上两式代入协调方程中有 把上式中 i=j 的3个方程叠加起来， 注意到 σii = Θ, Θ, ii = ?2Θ 和 δii =3 可得 对上式作双调和运算有 由 有 及 上式称为Michell方程(用应力表示的协调方程) 将上式回代到协调方程 中有 还可以写成 Michell方程 对于上式当 时有 同理对于上式当 时分别有 对于上式当 时有 即 展开Michell方程 体力为常数时，右端项为零，故有 上方程称为Beltremi方程。 当满足面力边界条件时即得到问题的解答。 解上面的方程，或下面的Michell方程 应力法体力为零时 应力解法的基本未知量为6个应力分量，可以避开几何方程； 基本方程为 3个平衡微分方程和 6个变形协调方程和3个边界条件，对于几何形状或载荷较复杂问题的求解困难。 应力解法适用于面力边界条件与单连体。 总之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的面力边界条件下，求解平衡微分方程和应力表示的变形协调方程所组成的偏微分方程组。 混合解法 根据问题性质和边界条件，选择不同的基本未知量求解称为混合解法。 弹性理论解的惟一性定理 弹性体受已知外力的作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知；则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是惟一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。 局部影响原理： 物体在任意一个小部分作用有一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在距离该区域相当远处，这种影响便急剧减小。 5.4 圣维南原理