第五章_二次曲线的一般理论.ppt

(5.4-3) 即 那么它的任何直径的方向是它的惟一的渐近方向 而垂直于它的方向显然为 2.如果二次曲线(1)为非中心二次曲线 因此对于中心二次曲线来说，只要由(5.4-3)解出 ， 再代入(5.4-1)就能得到它的主方向. (5.4-２) 所以非中心二次曲线(1)的主方向： 渐近主方向 （5） 非渐近主方向 （6） 正是非中心二次曲线的渐近主方向(5) 与非渐近主方向(6). 注意到 此时方程(5.4-3)的两根为 把它代入(5.4-1) 所得到的主方向 (5.4-1) 因此，一个方向 成为二次曲线(1)的主方向 的条件是(5.4-1)成立，这里的 是方程(5.4-2)或(5.4-3)的根. 定义 5.4.2 方程(5.4-2)或(5.4-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根. 总结:1)从二次曲线(1)的特征方程(5.4-3)求出特征根? , 把它代入(5.4-1). 我们就得到相应的主方向. 2)如果主方向为非渐近方向，那么根据(5.4-1)就能得到共轭于它的主直径. (5.4-3) (5.4-２) 证 如果二次曲线的特征根全为零, 那么得 因为特征方程的判别式 所以二次曲线的特征根都是实数. 定理 5.4.2 二次曲线的特征根不能全为零. 证 即 与 从而得 这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征 根不能全为零. 定理 5.4.1 二次曲线的特征根都是实数. 由二次曲线(1)的特征根 确定的主方 向 ，当 时，为二次曲线的非渐近方向； 当 时，为二次曲线的渐近主方向. 定理 5.4.3 证 因为 所以由(5.4-1)得 又因为 不全为零，所以当 时， 为二次曲线(1)的非渐近主方向; 当 时， 为二次曲线(1)的 渐近主方向. 定理 5.4.4 中心二次曲线至少有两条主直径，非 中心二次曲线只有一条主直径. 证 由二次曲线(1)的特征方程(5.4-3)解得两特征根为 10 当二次曲线(1)为中心曲线时， .如果 特征方程的判别式 那么 这时的中心曲线为圆(包括点 圆和虚圆)，它的特征根为一对二重根. 把它代入(5.4-1)或(5.4-1`)，则得到两个恒等式， 它被任何方向 所满足，所以任何实数方向都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线都是直径.而且都是圆的主直径. 如果特征方程的判别式 那么特征根为两个不等的非零实根 . 将它们分别代入(5.4-1`)得相应的两非渐近主方向为 （7） （8） 这两个方向相互垂直，它们又互相共轭， 因此 非圆的中心二次曲线有而且只有一对互相垂直从而又互相共轭的主直径. 20 当二次曲线(1)为非中心曲线时， ，这 时两特征根为 所以它只有一个非渐近的主方向，即与 相应的主方向，从而非中心二次曲线只有一条主直径. 例 1 求 的主方向 与主直径. 解 曲线为中心曲线，它的特征方程为 解这个方程得两特征根为： 由特征根 确定的主方向为 由特征根 确定的主方向为 又因为 所以曲线的主直径为 与 即 与 例 2 求曲线 的主方向与主直径. 解 曲线为非中心曲线，它的特征方程为： 因此两特征根为 由这两特征根所确定的主方向为： 非渐近主方向 渐近主方向 又因为 所以曲线的唯一主直径为 即 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 教学目标： ⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念； ⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法； ⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。 教学重点： 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。 教学难点： 根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 1.二次曲线的渐近方向 定义5.2.1 满足条件Φ(X,Y)=0的方