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第五节:逻辑与推理论证的学习
第5章 逻辑与推理论证的学习 内容提要 一、逻辑用语与学习心理 二、推理、证明与学习心理 逻辑用语:可用来准确、简洁地表述数学内容和数学定理,同时在各种交流活动中,逻辑用语可用来严密地表述对各种问题的思考结果. 推理:是从一个或者一些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式.其中已知的命题是前提,得出的新命题是结论. 论证:是用某些理由去支持或反驳某个观点的过程或语言形式,通常由论题、论点、论据和论证方式构成. 中学阶段,数学课程标准对逻辑用语与推理论证学习的基本要求是: 逻辑基础:命题及命题的关系、命题与命题的条件、逻辑联结词、逻辑量词. 推理:合情推理、演绎推理及两者之间的辩证关系. 论证的基本方法:直接证明、间接证明、数学归纳法. 一、逻辑用语与学习心理 (一)判断学习 1、判断的意义 判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式. 例如:2是自然数,1是质数,A=B,1+2=9,正数大于零, 判断具有两个基本特征: (1)一定要“有所断定”.不能作出肯定或否定的思维形式,就不能称为判断. 如,“小于9吗”,“1+2=3吗”等都不是判断. (2)判断有真假之分.判断是对客观事物有所断定的一种思维形式,是对客观事物情况的反映,而不是客观事物本身。 如实反映事物情况的判断,叫真判断; 不符合事物情况的判断,叫假判断. 例如,“正数大于零”是真判断,“两个无理数之和是无理数”是假判断. 判断一般是用陈述句来表达的,它往往是概念与概念的联合.而疑问句、感叹句、祈使句一般不能表达任何肯定或否定的内容,因此不能成为一个判断. 2、判断的分类:判断有简单判断和复合判断 (1)简单判断 在一个判断中,如果只包含结构最简单的判断,不包含其他的判断,叫做简单判断.简单判断又分为关系判断和性质判断。 关系判断——就是断定客观对象间某种关系的判断.关系判断是由关系者项、关系项和量项三部分组成的. 性质判断——是直接对事物的性质有所肯定或否定。 这里重点讨论性质判断 ①性质判断的定义 性质判断是直接对事物的性质有所肯定或否定。 传统逻辑亦把它称为直言判断.如“所有等边三角形都是相似的”,“有些一元二次方程没有实数根”. ②性质判断的结构 性质判断是由主项、谓项、量项、联项四部分组成。 性质判断的结构: 主项——表示被判断的对象,通常用符号“S”表示。 谓项——表示被判断对象的性质,通常用符号“P”表示。 量项——表示判断中主项的数量(数量或范围的概念),反映判断量的差别(常用所有、一切、有些、有的、凡、每一个等表示)。 量项一般又可分为三种: 全称量项——它是一个全称量词,表示在一个判断中对主项的全部外延作了断定,常用“所有”、“一切”、“凡”、“每一个”等来表示; 特称量项—--它表示在一个判断中只对主项的部分外延作了断定,通常用“有的”、“有些”等来表示; 单称量项—--它表示在一个判断中对主项的一个特定外延作了断定(所断定的主项只是某一个个别对象),一般用“这个”、“那个”、“某个”等来表示。 联项——也称联结项,表示判断中主、谓项之间的关系,反映判断质的差别(常用有、是、没有、都是、不是等表示),联项可分为肯定联项(是)或否定联项(不是).在肯定判断表达中,量项与联项有时可以省略.如,(一切)负数(是)没有对数;(凡)对顶角(都是)相等. 注意:性质判断本身不包含其它判断成分,它实际上只是断定了“S”与“P”这两个概念之间的外延关系,所以它属于简单判断。 例如: 所有 等边三角形 都是 相似的 量项 主项 联项 谓项 有些 一元二次方程 没有 实数根 性质判断的结构: (判断)=(量项)+( S:主项)+(联项)+( P:谓项) (二)命题知识 1、命题的含义 中学阶段要求学生: (1)了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,并能正确地使用它们; (2)了解全称量词和存在量词的意义,并能正确地对含有量词的命题作出否定。 在逻辑联结词与量词的学习中,学生最大的困难是理解“否定”、运用“否定”。 命题——表达判断的陈述语句称为命题。 数学命题——表示数学判断或数学关系的陈述称为数学命题。 数学中的定义、公理、定理、法则、性质、有些习题(结果正确,但未作为定理或公式使用的数学结论)都是命题。 命题既可用语言叙述,也可用符号进行表示. 常用的逻辑联结词有“非”、“或”、“且”、“蕴含”、“等值”等; 常用的全称量词有“任意”、“所有”、“每一个”等;数学上用符号“ ”表
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