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苏教版一轮抛物线导学案
抛物线
【知识梳理】
1.抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) 图形 范围 x≥0,yR x≤0,yR 对称轴 x轴 顶点坐标 原点O(0,0) 焦点坐标 准线方程 x=- x= 离心率 e=1
标准方程 x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 范围 y≥0,xR y≤0,xR 对称轴 y轴 顶点坐标 原点O(0,0) 焦点坐标 准线方程 y=- y= 离心率 e=1 1.已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是
解析:=3,p=6,x2=-12y.
2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值是
解析:抛物线的标准方程为x2=y.则a<0且2=-,得a=-.
3.倾斜角为60°的直线l过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦AB的长为
解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),依题意得焦点F(0,1),准线方程y=-1,直线l:y=x+1,由消x得y2-14y+1=0,y1+y2=14,|AB|=|AF|+|BF|=(y1+1)+(y2+1)=(y1+y2)+2=16.
4.已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F,且与y轴相交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为________.
解析:依题意得,|OF|=,又直线l的斜率为2,可知|AO|=2|OF|=,AOF的面积等于·|AO|·|OF|==4,则a2=64.又a>0,所以a=8,该抛物线的方程是y2=8x.
5.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是________.
解析:其准线方程为x=-2,又由点P到y轴的距离为4,则P点横坐标xP=4,由定义知|PF|=xP+=6.
1.抛物线方程中,字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离,等于焦点到抛物线顶点的距离,记牢对解题非常有帮助.
2.用抛物线定义解决问题,体现了等价转换思想的应用.
3.由y2=mx(m≠0)或x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y系数除以4,再确定焦点位置即可.
考点一 抛物线的定义及应用
[例1] (1)已知F是拋物线y2=x的焦点,A,B是该拋物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为
(2)在抛物线C:y=2x2上有一点P,若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小,则点P的坐标是
[解] (1)如图,由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3,|CD|=,所以中点C的横坐标为-=.
(2)由题知点A在抛物线内部,根据抛物线定义,问题等价于求抛物线上一点P,使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小,显然点P是直线x=1与抛物线的交点,故所求P点的坐标是(1,2).
【由题悟法涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解.
【以题试法1.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=_____.
解析:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,点A的横坐标为2.
将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知,y=2,
A(2,2),直线AF的方程为y=2(x-1).
又解得或
由图知,点B的坐标为,|BF|=-(-1)=.抛物线的标准方程及几何性质
[例2] (1)已知双曲线C1:-=1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py (p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为
(2)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=
[解] (1)双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,==2,b=a,
双曲线的渐近线方程为x±y=0,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为=2,p=8.所求的抛物线方程为x2=16y.
(2)依题意,设抛物线方程是y2=2px(p0),则有2+=3,得p=2,故抛物线方程是y2=4x,点M的坐标是(2,±2),|OM|==2.
【由题悟法1.求抛物线的方程一般是利用待定系数法,即求p但要注意判断标准方程的形式.
2.研究抛物线的几何性质时,一是注意定义转化应用;二是要结合图形分析,同时注意平面几何性质的应用.以题试法2.已知抛
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