1-7在势力场中质点系平衡条件与平衡稳定性.ppt

§1.7在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性  本节研究的是在质点系在一个特殊而重要的势力场中的平衡问题.  ; 如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能 为各质点坐标的函数，其势能函数为 有势力在直角坐标轴上的投影与势能的关系为 因此主动力在虚位移上所做的元功之和可写成 ; 这样,虚位移原理可以表示成更简单的形式 该式表明,当主动力都是有势力时,具有理想约束的 质点系平衡的必要和充分条件为,质点系的势能在平衡位置的一阶变分为零. 如果用广义坐标 来表示质点系的位置，则势能可以写成广义坐标的函数 按照式（1-19），广义力可写成 ; 由式（1-18）知 该式表明，当主动力都是有势力时，具有理想约束的质点系平衡的必要和充分条件为，质点系的势能对每个广义坐标的偏导数都等于零。 式（1-21）和式（1-22）是势力场中两种不同表达形式的虚功方程，它们也都说明，求解在势力场中的质点系的平衡问题可归为如何写出系统的势能函数的问题。 ; 例1-9长为l的均质杆两端分别与A,B两轮连接，如图1-19所示。两轮分别沿铅直墙面和水平 面作只滚不滑运动。杆的A端同一铅直固定弹簧相连。已知杆重为P，两轮重量不计，弹簧的刚度系数为k，弹簧在θ=0°时未被拉伸，求系统平衡位置。 解 系统受有势力重力P和弹性力F作用， 取弹簧未伸长时自由端为系统的零势 能位置。 ; 用两种方法求解： （1）用在势力场中质点系的平衡条件δV=0解。首先， θ=0°时，系统处于平衡，平衡位置如图中虚线所示。建 立坐标系，求系统的另一平衡位置。设杆的A端（也即弹 簧自由端）的坐标为（x，0），则系统的势能函数为;;; 解 这是一个二自由度系统.图中O-O为三组弹簧未变形时平台的水平位置,选D点的铅直坐标y和平台对水平线的转角φ为广义坐标. ; 化简得 ; 在势力场中我们可以通过平衡条件确定质点系是否处于平衡及平衡时的位置,而满足平衡条件的质点系可能处于不同的平衡状态,也就是说稳定性不同.; 对于上例的三种平衡状态推广到一般情况做如下解 释:根据势力场的 性质,有势力是指向势能减小的方向,在 稳定平衡位置处,系统受扰动而移动到任何位置,其势能均 高于平衡位置处的势能.因此系统在有势力作用下由高势能位置回到低势能位置.系统势能在稳定平衡的平衡位置处有极小值.同样可以知道,在不稳定平衡的平衡位置处,势能有极大值.而随遇平衡时,系统的势能是不变的.对于一个自由度系统,系统具有一个自由度,其势能函数为 由式(1-22)知,平衡时势能有极值,即 设由此式求出的平衡位置为q= 当 时, 为极小值,平衡是稳定的 (1-23) 当 时, 为极大值,平衡是不稳定的 (1-24) ; 对于两个自由度系统,设 为它的广义坐标,其势 能函数为 由式(1-22)知,系统的平衡条件为 当系统的稳定平衡条件为 时, 势能函数有极值.又当 或 时,函数有极小值,系统 是稳定平衡;而当 或 时,函数有极大值,系统是不稳定平衡。 ;例1-11在例1-9中，若设杆长l=0.6m，杆P=100N，弹簧的刚性系数k=200N/m，试讨论系统平衡的稳定性。 解由例1-9得第二种解法得知 得系统的平衡位置为 势能函数V的二阶导数为 ; 将 和 分别代入上式，得 =-300 所以 时，系统在这个位置是不稳定平衡；而 因此 时，系统在这个位置是稳定平衡的。 例1-12 重为P的均质物块，厚度为h，置于半径为r的固定轴上，如图1-22（a）所示。试证明当h2r时，物块的平衡是不稳定平衡。 ;2; 代入上式得以广义坐标表示的势能函数 由下式可确定平衡位置 由上式有 解上式得θ=0°为平衡位置。 判断稳定性。根据以下二式： ; 显然当h2r时 。由此证得物块的平衡时不稳定的。