2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题与解答.doc

2009年全国高中数学联赛福建省预赛 2009年全国高中数学联赛福建省预赛暨2009年福建省高中数学竞赛由福建省数学学会竞赛委员会主办. 由福建省数学学会竞赛委员会组织有关人员负责命题. 命题负责人：陈荣斯. 试题以《普通高中数学新课程标准》的内容和要求为主要依据，在方法和能力上有所提高，并适当增加全国高中联赛中二试的内容. 试题包括10道填空题，每小题6分；5道解答题，每小题20分. 全卷满分160分. 考试时间：2009年9月13日（星期日）上午9：00－11：30. 考试地点：由各设区市组织进行. 预赛由设区市负责，各设区市根据预赛成绩产生本设区市参加复赛的候选学生名单，省数学学会组织相关人员对各设区市选送的候选名单进行审核，最后产生参加复赛的学生名单. 同时，省数学学会根据各设区市选送的候选学生的预赛成绩评出福建省数学竞赛一等奖、二等奖、三等奖人选. 试 题 一、填空题（每小题6分，共60分） 1．已知向量，，. 若、、分别是锐角中角、、的对边，且满足，，，则的面积 . 2．设，变量满足，且的最小值为，则__ _____. 3．已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和数为48和51，则这5个数中最大的数等于 . 4．一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影. 当三棱锥的体积最大时，与所成角的正弦值是 . 5．若定义在上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，，则方程在区间内的所有实根之和为 . 6．平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，直线与线段分别交于点，且平分△的面积，则的最小值为 . 7．若对于任意的实数，函数的值都是非负实数，则实数的最大值为 . 8．集合的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 9．方程的实数解是 . （其中表示不超过的最大整数） 10．满足，，且的有序整数组的个数为 . 二、解答题（每小题20分，满分100分） 11．已知，方程有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍. 等差数列与的前项和分别为与，且（，2，3，…）. （1）设（，2，3，…），求的最大值； （2）若，数列的公差为3，探究在数列与中是否存在相等的项. 若有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列的通项公式；若没有，请说明理由. 12．已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，点的坐标为（）. （1）设过点斜率为1的直线交抛物线于、两点，若，关于原点的对称点为. 求面积的最大值. （2）设过点斜率为（）的直线交抛物线于、两点，在轴上是否存在一点，使得、与轴所成的锐角相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 13．如图，与线段相切于点，与以为直径的半圆相切于点. 于点，与以为直径的半圆交于点，且与相切于点，连接、CM. 求证： （1）、、三点共线； （2）； （3）. （第13题） 14． 设. 令. （1）S能否等于2010？证明你的结论； （2）S能取到多少个不同的整数值？ 15．已知正实数a、b、c满足. 求证： （1）； （2）. 解 答 1. 由条件知 所以 ，. 又因为为锐角，，因此，. 因为 ，，所以 ， 即 . 所以 ，的面积 . 2. 由及，得. 设. 若，即，则在处取最小值，因此，. 若，即，则在处取最小值，因此，（舍去）. 综上可知. 3. 设这5个数为，则，下面说明. 因为，所以 ， 故 . 所以 ， 故 ，即最大的数为27.5. 4. 易知，所以，从而. 所以，因此，. 由，得，而，为斜边长为的直角三角形，面积最大在时取到. 所以，当三棱锥的体积最大时，，此时，，与所成角的正弦值是. 5. 函数的图象关于直线对称，以及奇函数知， ， 因此 ， 是周期函数，4是它的一个周期. 由是定义在上的奇函数，知，方程化为. 结合图象可知，在、内各有一个实根，且这两根之和为2；在、内各有一个实根，且这两根之和为10；在、内各有一个实根，且这两根之和为18. 所以，方程在区间内有6个不同的实根，这6个实根之和为30. 6. 由条件知，，，. 设，则. 由，得 . 由余弦定理，得 . 当