3.2三角函数奇偶性和单调性.doc

3.3三角函数的奇偶性与单调性 【知识网络】1．正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性； 　　　　　　２．正弦、余弦、正切函数的的单调性． 【典型例题】 ［例1］(1) 已知，函数为奇函数，则a＝　（　　） （A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1　　　　（D）±1 (1)A 提示：由题意可知，得a=0 （2）函数的单调增区间为(　) A． B． C． D． (2)C 提示：令可得 （3）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期 是，且当时，，则的值为 ( ) A. B. C. D. (3)B 提示： （4）如果是奇函数，则 ． (4)－２　由 （５）已知函数满足以下三个条件： 在上是增函数　②以为最小正周期　③是偶函数　 试写出一满足以上性质的一个函数解析式　　　　　　　　　　　　． (5)　提示：答案不唯一，如还可写成等 ［例2］判断下列函数的奇偶性 （１）； (2 ) ； (3 ) ； (4 ) ． 解：（1）的定义域为，故其定义域关于原点对称， 又 为奇函数 （2）时，，而， 的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数。 （3）的定义域为R，又 为偶函数。 （4） 由得，又 ，故此函数的定义域为 ，关于原点对称，此时 既是奇函数，又是偶函数。 ［例3］已知:函数． (1)求它的定义域和值域； (2)判断它的奇偶性； (3)求它的单调区间； （4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期. 解:(1).由 定义域为, 值域为 (2).定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数 （3） 的递增区间为 递减区间为 (4). 是周期函数,最小正周期T. ［例4］已知函数，．求: ( = 1 \* ROMAN I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合； ( = 2 \* ROMAN II) 函数的单调增区间． 解( = 1 \* ROMAN I) 当,即时, 取得最大值. 函数的取得最大值的自变量的集合为. ( = 2 \* ROMAN II) 由题意得: 即: 因此函数的单调增区间为. 【课内练习】 1．函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是 （　　） A．φ=2kπ－ eq \f(π,6) ，k∈Z B．φ=kπ－ eq \f(π,6) ，k∈Z C．φ=2kπ－ eq \f(π,3) ，k∈Z D．φ=kπ－ eq \f(π,3) ，k∈Z 1．D 提示： 令可得 2．在中，，若函数在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是 （A） （B） （C） （D） 2．C 提示：根据所以 3.同时具有性质“⑴ 最小正周期是；⑵ 图象关于直线对称； ⑶ 在上是增函数”的一个函数是( ) A B C D 3．D 提示：由性质(1)和(2)可排除 A和C ,再求出的增区间即可 4． 设函数，若，则下列不等式必定成立的是 （　　） A． B． C． D． 4．B提示：易知，且当x∈时，为增函数．又由，得，故 |，于是． 5.判断下列函数奇偶性（1）是 ； （2）是 ； （3）f（x）=是 ． 5．（1）偶函数（２）非奇非偶函数（３）奇函数 提示：先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后用奇函数和偶函数的定义判断 6.若是以5为周期的奇函数，且，则= ． 6． -4 提示： ７．五个函数①②③④ ⑤中，同时满足且 的函数的序号为　　　　　　　　　　　． 　　7．③　提示：①②⑤不满足　④不满足 8．求下列函数的单调区间. (1) (2) 解:(1).原函数变形为令,则只需求的单调区间即可.,()上 即,()上单调递增, 在,上 即,上单调递减 故的递减区间为: 递增区间为:. (2)原函数的增减区间即是函数的减增区间,令 由函数的图象可知:周期且 在上,即上递增, 在即在上递减 故所求的递减区间为,递增区间为() ９．已知为奇函数，且当时，． 当时，求的解析式； 当时，求的解析式． 解：（１）当时，则，，又　为奇函数，所以 当时，为奇函数