二元函数极值和最值.doc

二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设在点处可微分且在点处有极值，则，，即是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且，令，，，则 当且 A0时，f为极大值； 当且A0，f为极小值； 时，不是极值点。 注意： 当B2－AC = 0时，函数z = f (x, y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x3 + y2 －2xy的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： ，．, , ． 再求函数的驻点．令= 0，= 0，得方程组 求得驻点(0，0)、． 利用定理2对驻点进行讨论： (1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B2－AC0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点． (2)对驻点，由于A =4, B =－2，C = 2,B2－AC =－40, 且A0,则 为函数的一个极小值． 例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值. 【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。 【解】 因为 ，所以 ， . 令 得 故 将上式代入，可得 或 由于 ， ， 所以 ，，， 故，又，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由 ，，， 可知，又，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。 2．二元函数的条件极值 拉格朗日数乘法：设某领域内有连续偏导数，引入辅助函数 解联立方程组 得可能是在条件下的极值点 例3经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积． 【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。 【解】设所求平面方程为 ． 因为平面过点，所以该点坐标满足此平面方程，即有 ． (1) 设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则 ．　　　　　　　　　　　 (2) 原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数 ． 求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组： 由此方程组和（9）解得a = b = c = 3． 由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面 x + y + z = 3． 与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为 例4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入万元与电视广告费万元及报纸广告费万元之间的关系为： ． ⑴ 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略； ⑵ 若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略． 【解】⑴ 利润函数为 ， 求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组： 解得，．则为惟一的驻点． 又由题意，可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为万元． 因此，当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为万元，此即为最佳广告策略． ⑵ 求广告费用为1．5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件下， 求的最大值．作拉格朗日函数 ． 求函数的各个偏导数，并令它们为0，得方程组： 并和条件联立解得，．这是惟一的驻点，又由题意，一定存在最大值，故万元为最大值． 【评注】 本题也可由，解得，代入目标函数转换成一元函数求解。 3．二元函数的最值 二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。 例5:（2007数学一）求函数在区域D上的最大值和最小值，其中： 。 【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。 【详解】 因为 ，，解方程： 得开区域内的可能极值点为. 其对应函数值为 又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0. 当，构造拉格朗日函数 解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为 比较函数值，