自考4183概率论与数理统计课件第04章.ppt

第四章 随机变量的数字特征 随机变量的期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数 X Y 1. 设随机变量X与Y相互独立，且X～N (0,9)，Y～N (0,1)，令Z=X-2Y, 则D (Z)=（ ） A 5 B 7 C 11 D 13 2. 已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（ ） A -2 B 0 C D 2 4. 设X～N(0,1)，Y=2X-3，则D(Y)=______． 3. 设随机变量X ~ B ,则D(X)=_________, E(X2)=___________. * 第四章 随机变量的数字特征 4.1 随机变量的期望 4.1.1 离散型随机变量的期望 定义4-1 设离散型随机变量X的分布律为 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 如果 有限,定义X的数学期望 P{X=xk}=pk , k=1,2,… 例4-1 设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 P 0.3 0.2 0.5 求E(X). 解 E(X)=(-1)Х0.3+0 Х 0.2+1 Х 0.5=0.2 例4-2 甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1 试比较它们成绩的好坏. 解 分别计算X和Y的数学期望: E(X)=0Х0.3+1 Х 0.2+2 Х 0.8=1.8(分)， E(Y)=0Х0.1+1 Х 0.8+2 Х 0.1=1 (分). 这就意味着,如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于1.8分,而乙得分的平均值接近1分.很明显乙的成绩远不如甲. 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望. 1. 两点分布 随机变量X的分布律为 X 0 1 P 1-p p 其中0p1，有 E(X)=0X(1-p)+1Xp=p. 2. 二项分布 设X~B(n, p), 即 从而有 3. 泊松分布 设X~P(λ)其分布律为 则X的数学期望E(X)=λ. 下面介绍离散型随机变量函数的数学期望. 定理4-1 设离散型随机变量x的分布率为 下面介绍几种重要连续型随机变量的期望. 4.1.3 二维随机变量函数的期望 X Y 即 练 习 1. 设随机变量X服从正态分布N(2,4),Y服从均匀分布U(3,5),则E(2X-3Y)=_____. 2.设随机变量X与Y相互独立,其分布律分别为 则E(XY)=________. 3.设随机变量X的概率密度为 则E(X)=________. 4.设随机变量X的概率密度为 且E(X)= 求:常数a,b. 5.设二维随机变量(X,Y)的分布律为 且已知E(Y)=1,试求:(1)常数α,β;(2)E(XY);(3)E(X). X Y 4.2 方 差 4.2.1 方差的概念 上一节我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的.我们还要研究随机变量偏离期望的程度.这就需要再引入方差的概念. 定义4-3 说明： (1) 随机变量X的方差D(X)即是X的函数(X-E(X))2的期望. (2) 当随机变量的取值相对集中在期望附件时,方差较小;取值相对分散时,方差较大,并且总有 方差的计算方法： 解 等 价 公 式 1. 两点分布(0-分布) 随机变量X的分布律为 X 0 1 P 1-p p 其中0p1，有 D(X)=p(1-p). 2. 二项分布 设X~B(n, p), 即 从而有 4.2.2 常见分布的方差. 例4-20 已知随机变量X服从二项分布, 且E(X)=2.4, D(X)=1.44.求二项分布的参数n, p. 3. 泊松分布